As cordas de um violão têm a mesma tensão, para que não entortem o braço do violão. Como exemplo, a distância entre o rastilho e a pestana pode ser de 80 cm. A diferença entre a primeira corda e a sexta são duas oitavas, sendo que a mais aguda (mais fina) tem frequência fundamental de 329,63 Hz. (a) Qual será a razão entre as densidades das primeira e sexta cordas? (b) Sendo a tensão típica nas cordas de 80 N, encontre a densidade da corda mais fina. © Qual é a distância entre o primeiro traste e a pestana, sabendo que existem 12 notas em cada oitava?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um violão onde todas as cordas têm a mesma tensão para evitar que o braço do violão se deforme. A distância entre o rastilho e a pestana é de 80 cm. A diferença de frequência entre a primeira corda (mais aguda) e a sexta corda é de duas oitavas, sendo que a primeira corda tem uma frequência fundamental de . O conteúdo envolvido aqui é o de ondas em cordas, especificamente a relação entre frequência, tensão e densidade linear das cordas. Para resolver, vamos usar a fórmula da frequência fundamental de uma corda vibrante.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa diferença de duas oitavas. Uma oitava corresponde a um dobro na frequência. Então, duas oitavas significam que a sexta corda tem uma frequência quatro vezes menor que a primeira. Assim, se a primeira corda tem f6 = 329,634 = 82,4075 Hz , a sexta corda terá:

Passo 3

A fórmula da frequência fundamental de uma corda é:
f = 12L raizTmu
Onde:
  • é a frequência,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão,
  • é a densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Como todas as cordas têm a mesma tensão e o mesmo comprimento , podemos relacionar as densidades das cordas pela relação das frequências.

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula para mu = T(2L f)^2 :
mu1 = T(2L f1)^2 e mu6 = T(2L f6)^2
Para a primeira corda ( ) e a sexta corda ( ):

Passo 5

Dividindo mu1mu6 = (2L f6)^2(2L f1)^2 = (f6f1)^2 por mu1mu6 = (14)^2 = 116 :
Sabendo que :

Resposta

A razão entre as densidades da primeira e sexta cordas é de .

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