As cordas de um violão têm a mesma tensão, para que não entortem o braço do violão. Como exemplo, a distância entre o rastilho e a pestana pode ser de 80 cm. A diferença entre a primeira corda e a sexta são duas oitavas, sendo que a mais aguda (mais fina) tem frequência fundamental de
. (a) Qual será a razão entre as densidades das primeira e sexta cordas? (b) Sendo a tensão típica nas cordas de 80 N, encontre a densidade da corda mais fina. © Qual é a distância entre o primeiro traste e a pestana, sabendo que existem 12 notas em cada oitava?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos um violão onde todas as cordas têm a mesma tensão para evitar que o braço do violão se deforme. A distância entre o rastilho e a pestana é de 80 cm. A diferença de frequência entre a primeira corda (mais aguda) e a sexta corda é de duas oitavas, sendo que a primeira corda tem uma frequência fundamental de
. O conteúdo envolvido aqui é o de ondas em cordas, especificamente a relação entre frequência, tensão e densidade linear das cordas. Para resolver, vamos usar a fórmula da frequência fundamental de uma corda vibrante.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa diferença de duas oitavas. Uma oitava corresponde a um dobro na frequência. Então, duas oitavas significam que a sexta corda tem uma frequência quatro vezes menor que a primeira. Assim, se a primeira corda tem
, a sexta corda terá:
Passo 3
A fórmula da frequência fundamental de uma corda é:
Onde:
-
é a frequência, -
é o comprimento da corda, -
é a tensão, -
é a densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Como todas as cordas têm a mesma tensão
e o mesmo comprimento
, podemos relacionar as densidades das cordas pela relação das frequências.
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula para
:
Para a primeira corda (
) e a sexta corda (
):
Passo 5
Dividindo
por
:
Sabendo que
:
Resposta
A razão entre as densidades da primeira e sexta cordas é de
.