(a) Se um piano se afasta de nós que estamos parados, qual deve ser a sua velocidade para que todas as notas sejam escutadas uma oitava abaixo? (b) Se o piano estiver parado e nós nos afastando, qual deverá ser a velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve o efeito Doppler, que é o fenômeno responsável pela mudança na frequência do som quando há movimento relativo entre a fonte sonora e o observador. No nosso caso, queremos descobrir qual a velocidade necessária para que um piano seja ouvido uma oitava abaixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ouvir uma oitava abaixo. Uma oitava abaixo significa que a frequência percebida é metade da frequência original. Se a frequência original do som emitido pelo piano é
, a frequência que queremos ouvir é
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar a fórmula do efeito Doppler para o som. Quando a fonte está se afastando do observador, a frequência percebida (
) é dada por:
Onde:
-
é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s). -
é a velocidade da fonte (no caso, o piano).
Queremos que
. Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Então, a velocidade do piano precisa ser igual à velocidade do som para que todas as notas sejam ouvidas uma oitava abaixo quando o piano está se afastando de nós.
Agora, vamos para a parte (b) da questão.
Passo 6
Na parte (b), o piano está parado e quem está se afastando somos nós, o observador. A fórmula do efeito Doppler quando o observador está se movendo é:
Onde:
-
é a velocidade do observador.
Queremos
. Substituindo na fórmula:
Passo 7
Simplificando a equação dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Resposta
(a) O piano precisa se afastar a uma velocidade igual à velocidade do som (
) para que todas as notas sejam ouvidas uma oitava abaixo.
(b) Se o piano estiver parado e quem se afasta for o observador, a velocidade necessária é metade da velocidade do som (
).