(a) Se um piano se afasta de nós que estamos parados, qual deve ser a sua velocidade para que todas as notas sejam escutadas uma oitava abaixo? (b) Se o piano estiver parado e nós nos afastando, qual deverá ser a velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve o efeito Doppler, que é o fenômeno responsável pela mudança na frequência do som quando há movimento relativo entre a fonte sonora e o observador. No nosso caso, queremos descobrir qual a velocidade necessária para que um piano seja ouvido uma oitava abaixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ouvir uma oitava abaixo. Uma oitava abaixo significa que a frequência percebida é metade da frequência original. Se a frequência original do som emitido pelo piano é , a frequência que queremos ouvir é .

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a fórmula do efeito Doppler para o som. Quando a fonte está se afastando do observador, a frequência percebida ( f' = f times vv + Vs ) é dada por:
f2 = f times vv + Vs
Onde:
  • é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s).
  • é a velocidade da fonte (no caso, o piano).
Queremos que . Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 12 = vv + Vs :
v + Vs2 = v
Agora, vamos resolver para v + Vs = 2v :
Multiplicando ambos os lados por Vs = v :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Então, a velocidade do piano precisa ser igual à velocidade do som para que todas as notas sejam ouvidas uma oitava abaixo quando o piano está se afastando de nós.
Agora, vamos para a parte (b) da questão.

Passo 6

Na parte (b), o piano está parado e quem está se afastando somos nós, o observador. A fórmula do efeito Doppler quando o observador está se movendo é:
f' = f times v - Vov
Onde:
  • f2 = f times v - Vov é a velocidade do observador.
Queremos . Substituindo na fórmula:

Passo 7

Simplificando a equação dividindo ambos os lados por 12 = v - Vov :
v2 = v - Vo
Multiplicando ambos os lados por -v2 = -Vo :
Vo = v2
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Resposta

(a) O piano precisa se afastar a uma velocidade igual à velocidade do som ( ) para que todas as notas sejam ouvidas uma oitava abaixo.
(b) Se o piano estiver parado e quem se afasta for o observador, a velocidade necessária é metade da velocidade do som ( ).

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