Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere
, despreze a resistência do ar e determine:
(b) o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
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Abandona-se uma pedra de uma altura
do solo, num local onde a aceleração da gravidade é
e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre
. Calcule:
(a) o tempo de queda;
(b) o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
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Abandona-se uma pedra de uma altura
(a) o tempo de queda;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos dois exercícios relacionados à queda livre, onde um corpo ou pedra é abandonado de uma certa altura. Vamos usar conceitos de física do movimento uniformemente acelerado, especificamente a equação que relaciona posição, aceleração, tempo e velocidade. Precisamos entender as fórmulas que envolvem a aceleração da gravidade e como calcular o tempo de queda e o intervalo de tempo para percorrer uma determinada distância.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o exercício 17(b):
Exercício 17(b):
Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere $ g = 10 , \mathrm{m/s}^{2} $, despreze a resistência do ar e determine o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere $ g = 10 , \mathrm{m/s}^{2} $, despreze a resistência do ar e determine o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
Para resolver isso, precisamos encontrar o tempo que o corpo leva para descer de 45 m para 20 m (já que os últimos 25 m são de 45 m a 20 m).
Passo 3
Vamos usar a fórmula da posição no movimento uniformemente acelerado:
Onde:
- $ s $ é a posição final,
- $ s_0 $ é a posição inicial,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, pois o corpo é abandonado),
- $ a $ é a aceleração (neste caso, $ g = 10 , \mathrm{m/s}^{2} $),
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o tempo total de queda desde os 45 m até o solo.
Note que a aceleração é negativa porque estamos considerando a direção para baixo.
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o tempo que o corpo leva para chegar a 20 m.
Passo 6
O intervalo de tempo para percorrer os últimos 25 m é a diferença entre o tempo total e o tempo até 20 m.
Passo 7
Agora, vamos para o exercício 18(a):
Exercício 18(a):
Abandona-se uma pedra de uma altura $ H $ do solo, num local onde a aceleração da gravidade é $ 10 , \mathrm{m/s}^{2} $ e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre $ \frac{3}{4} H $. Calcule o tempo de queda.
Abandona-se uma pedra de uma altura $ H $ do solo, num local onde a aceleração da gravidade é $ 10 , \mathrm{m/s}^{2} $ e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre $ \frac{3}{4} H $. Calcule o tempo de queda.
Aqui, precisamos encontrar o tempo total de queda $ t $ considerando que, no último segundo, a pedra percorre $ \frac{3}{4} H $.
Passo 8
Vamos utilizar a fórmula da posição para dois instantes diferentes:
- Tempo total de queda: $ t $
- Tempo até $ t - 1 $ segundos.
A distância percorrida no tempo total $ t $ é:
A distância percorrida até $ t - 1 $ segundos é:
Passo 9
A distância percorrida no último segundo é a diferença entre essas duas distâncias:
Simplificando:
Passo 10
Segundo o enunciado, essa distância é $ \frac{3}{4} H $. Além disso, sabemos que a distância total $ H $ é $ \frac{1}{2} g t^2 $:
Portanto:
Substituindo $ H $:
Passo 11
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por $ g $:
Multiplicando tudo por 8 para eliminar as frações:
Rearranjando:
Passo 12
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Como o tempo de queda não pode ser menor que 1 segundo para ter um “último segundo”, descartamos 0,67 segundos.
Resposta
O tempo total de queda da pedra é de 2 segundos.