Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere g=10 m / s^2, despreze a resistência do ar e determine:
(b) o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
18
Abandona-se uma pedra de uma altura H do solo, num local onde a aceleração da gravidade é 10 m / s^2 e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre 34 H. Calcule:
(a) o tempo de queda;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos dois exercícios relacionados à queda livre, onde um corpo ou pedra é abandonado de uma certa altura. Vamos usar conceitos de física do movimento uniformemente acelerado, especificamente a equação que relaciona posição, aceleração, tempo e velocidade. Precisamos entender as fórmulas que envolvem a aceleração da gravidade e como calcular o tempo de queda e o intervalo de tempo para percorrer uma determinada distância.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o exercício 17(b):
Exercício 17(b):
Um corpo é abandonado de uma altura de 45 m. Considere $ g = 10 , \mathrm{m/s}^{2} $, despreze a resistência do ar e determine o intervalo de tempo para o corpo percorrer os últimos 25 m.
Para resolver isso, precisamos encontrar o tempo que o corpo leva para descer de 45 m para 20 m (já que os últimos 25 m são de 45 m a 20 m).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da posição no movimento uniformemente acelerado:
s = s0 + v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • $ s $ é a posição final,
  • $ s_0 $ é a posição inicial,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, pois o corpo é abandonado),
  • $ a $ é a aceleração (neste caso, $ g = 10 , \mathrm{m/s}^{2} $),
  • $ t $ é o tempo.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o tempo total de queda desde os 45 m até o solo.
0 = 45 + 0 cdot t + 12 cdot (-10) cdot t^2
Note que a aceleração é negativa porque estamos considerando a direção para baixo.
Simplificando:
0 = 45 - 5 t^2 5 t^2 = 45 t^2 = 9 t = 3 , segundos

Passo 5

Agora, vamos encontrar o tempo que o corpo leva para chegar a 20 m.
20 = 45 + 0 cdot t + 12 cdot (-10) cdot t^2 20 = 45 - 5 t^2 5 t^2 = 25 t^2 = 5 t = raiz5 approx 2,24 , segundos

Passo 6

O intervalo de tempo para percorrer os últimos 25 m é a diferença entre o tempo total e o tempo até 20 m.
De

Passo 7

Agora, vamos para o exercício 18(a):
Exercício 18(a):
Abandona-se uma pedra de uma altura $ H $ do solo, num local onde a aceleração da gravidade é $ 10 , \mathrm{m/s}^{2} $ e o efeito do ar é desprezível. Verifica-se que, no último segundo de queda, a pedra percorre $ \frac{3}{4} H $. Calcule o tempo de queda.
Aqui, precisamos encontrar o tempo total de queda $ t $ considerando que, no último segundo, a pedra percorre $ \frac{3}{4} H $.

Passo 8

Vamos utilizar a fórmula da posição para dois instantes diferentes:
  1. Tempo total de queda: $ t $
  2. Tempo até $ t - 1 $ segundos.
A distância percorrida no tempo total $ t $ é:
t
A distância percorrida até $ t - 1 $ segundos é:
t - 1

Passo 9

A distância percorrida no último segundo é a diferença entre essas duas distâncias:
De
Simplificando:
De

Passo 10

Segundo o enunciado, essa distância é $ \frac{3}{4} H $. Além disso, sabemos que a distância total $ H $ é $ \frac{1}{2} g t^2 $:
34 H
Portanto:
H
Substituindo $ H $:
12 g t^2

Passo 11

Simplificando a equação:
38 g t^2 = g t - 12 g
Dividindo ambos os lados por $ g $:
g
Multiplicando tudo por 8 para eliminar as frações:
38 t^2 = t - 12
Rearranjando:
3 t^2 = 8 t - 4

Passo 12

Resolvendo a equação quadrática:
t = 8 pm raiz64 - 486 = 8 pm raiz166 = 8 pm 46
Assim, temos duas soluções:
t = 126 = 2 , segundos ou t = 46 approx 0,67 , segundos
Como o tempo de queda não pode ser menor que 1 segundo para ter um “último segundo”, descartamos 0,67 segundos.

Resposta

O tempo total de queda da pedra é de 2 segundos.

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