Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com velocidades iniciais iguais a 30 m / s. O segundo corpo é lançado 3 s depois do primeiro. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2, determine:
(a) o instante e a posição do encontro;

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois corpos lançados para cima do mesmo ponto, ambos com velocidade inicial de 30 , m/s. O segundo corpo é lançado 3 segundos depois do primeiro. Queremos descobrir em que instante e em que posição esses dois corpos se encontrarão. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV), considerando a aceleração da gravidade g = 10 , m/s²².

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento do primeiro corpo. Usando a equação da posição no MUV:
y1(t) = v0 t - 12 g t² ²
Onde:
  • y1(t) é a posição do primeiro corpo no tempo t,
  • v0 = 30 , m/s é a velocidade inicial,
  • g = 10 , m/s²².
Então, a posição do primeiro corpo fica:
y1(t) = 30t - 5t² ²

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo corpo. Ele é lançado 3 segundos depois, então se chamarmos o tempo total desde o lançamento do primeiro corpo de t, o tempo de movimento do segundo corpo será t - 3. Usando a mesma equação:
y2(t) = 30(t - 3) - 5(t - 3)² ²
Isso porque o segundo corpo também tem a mesma velocidade inicial e a mesma aceleração da gravidade.

Passo 4

Para encontrar quando os dois corpos se encontram, igualamos as posições:
y1(t) = y2(t)
Substituindo as equações:
30t - 5t² = 30(t - 3) - 5(t - 3)² ²²

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
30t - 5t² = 30t - 90 - 5(t² - 6t + 9) ²²
Distribuindo o -5:
30t - 5t² = 30t - 90 - 5t² + 30t - 45 ²²
Simplificando:
30t - 5t² = 60t - 135 - 5t² ²²

Passo 6

Agora, vamos cancelar os termos iguais dos dois lados:
30t = 60t - 135
Isolando t:
30t - 60t = -135
-30t = -135
t = 13530
t = 4,5 , segundos

Passo 7

Agora que sabemos que o encontro ocorre aos 4,5 segundos após o lançamento do primeiro corpo, vamos calcular a posição onde isso acontece. Usamos a equação de y1(t):
y1(4,5) = 30(4,5) - 5(4,5)² ²
y1(4,5) = 135 - 5(20,25)
y1(4,5) = 135 - 101,25
y1(4,5) = 33,75 , metros

Resposta

Os dois corpos se encontram 4,5 segundos após o lançamento do primeiro e no ponto a 33,75 metros do ponto de partida.

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