Um corpo é abandonado de uma altura de 500 m do solo. Sendo sua massa de 4 kg e desprezando a resistência oposta pelo ar ao movimento do corpo.
Determine: (a) a quantidade de movimento do corpo após 3 s de queda; (b) a energia cinética do mesmo após percorrer 20 m; © a energia potencial do corpo quando a sua velocidade é de
. (d) a energia mecânica do corpo. (
) Admitindo que o mesmo caia sobre uma estaca de comprimento desprezível ficando no chão
qual a reação do solo (suposta constante) à penetração da mesma. Admita
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um corpo de 4 kg que é solto de uma altura de 500 metros, sem considerar a resistência do ar. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, como quantidade de movimento, energia cinética, energia potencial e energia mecânica. Além disso, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a reação do solo na segunda parte do exercício.
Passo 2
(a) Quantidade de movimento após 3 segundos de queda
Primeiro, vamos entender o que é quantidade de movimento. A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada pela fórmula:
Onde:
- $ p $ é a quantidade de movimento,
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade.
Para encontrar a velocidade após 3 segundos de queda livre, usamos a equação da velocidade na queda livre:
Com:
- $ g = 10 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade),
- $ t = 3 , s $ (tempo).
Calculando a velocidade:
Agora, calculamos a quantidade de movimento:
Passo 3
(b) Energia cinética após percorrer 20 metros
A energia cinética é a energia que um corpo possui devido ao seu movimento, dada por:
Para encontrar a energia cinética após percorrer 20 metros, primeiro precisamos determinar a velocidade após cair 20 metros.
Usamos a equação de movimento para queda livre:
Como o corpo é abandonado (velocidade inicial $ v_0 = 0 $), a equação simplifica para:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos a energia cinética:
Passo 4
© Energia potencial quando a velocidade é de 50 m/s
A energia potencial gravitacional é dada por:
Para encontrar a altura $ h $ quando a velocidade é 50 m/s, usamos novamente a equação da velocidade na queda:
Resolvendo para $ h $:
Agora, calculamos a energia potencial:
Passo 5
(d) Energia mecânica do corpo
A energia mecânica é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Durante a queda livre sem resistência do ar, a energia mecânica é conservada. No ponto de partida, toda a energia é potencial, e na base, toda é cinética.
Usando os valores que já calculamos:
Quando o corpo atinge o solo ($ h = 0 $):
Passo 6
(2°) Reação do solo à penetração de 0,5 metros
Aqui, queremos encontrar a força que o solo exerce para parar o corpo que penetrou 0,5 metros. Usamos o trabalho e a energia para resolver isso.
O trabalho realizado pela força de reação é igual à energia cinética do corpo no momento do impacto.
Onde:
- $ F $ é a força de reação,
- $ d = 0,5 , m $ é a distância de penetração,
- $ EM = 1800 , J $ é a energia mecânica.
Resolvendo para $ F $:
Resposta
(a) A quantidade de movimento após 3 segundos é de 120 kg·m/s.
(b) A energia cinética após percorrer 20 metros é de 800 Joules.
© A energia potencial quando a velocidade é de 50 m/s é de 5000 Joules.
(d) A energia mecânica do corpo é de 1800 Joules.
(2°) A reação do solo à penetração de 0,5 metros é de 3600 Newtons.