Um corpo é abandonado de uma altura de 500 m do solo. Sendo sua massa de 4 kg e desprezando a resistência oposta pelo ar ao movimento do corpo. (1^circ) Determine: (a) a quantidade de movimento do corpo após 3 s de queda; (b) a energia cinética do mesmo após percorrer 20 m; © a energia potencial do corpo quando a sua velocidade é de 50 m / s. (d) a energia mecânica do corpo. ( 2^circ) Admitindo que o mesmo caia sobre uma estaca de comprimento desprezível ficando no chão 1 / 2 m qual a reação do solo (suposta constante) à penetração da mesma. Admita g=10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um corpo de 4 kg que é solto de uma altura de 500 metros, sem considerar a resistência do ar. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, como quantidade de movimento, energia cinética, energia potencial e energia mecânica. Além disso, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a reação do solo na segunda parte do exercício.

Passo 2

(a) Quantidade de movimento após 3 segundos de queda
Primeiro, vamos entender o que é quantidade de movimento. A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada pela fórmula:
p = m times v
Onde:
  • $ p $ é a quantidade de movimento,
  • $ m $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade.
Para encontrar a velocidade após 3 segundos de queda livre, usamos a equação da velocidade na queda livre:
p
Com:
  • $ g = 10 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade),
  • $ t = 3 , s $ (tempo).
Calculando a velocidade:
m
Agora, calculamos a quantidade de movimento:
v

Passo 3

(b) Energia cinética após percorrer 20 metros
A energia cinética é a energia que um corpo possui devido ao seu movimento, dada por:
EC = 12 m v^2
Para encontrar a energia cinética após percorrer 20 metros, primeiro precisamos determinar a velocidade após cair 20 metros.
Usamos a equação de movimento para queda livre:
v^2 = v0^2 + 2 g h
Como o corpo é abandonado (velocidade inicial $ v_0 = 0 $), a equação simplifica para:
v0 = 0
Substituindo os valores:
v = raiz2 g h
Agora, calculamos a energia cinética:
v = raiz2 times 10 , m/s^2 times 20 , m = raiz400 = 20 , m/s

Passo 4

© Energia potencial quando a velocidade é de 50 m/s
A energia potencial gravitacional é dada por:
EP = m times g times h
Para encontrar a altura $ h $ quando a velocidade é 50 m/s, usamos novamente a equação da velocidade na queda:
h
Resolvendo para $ h $:
v^2 = 2 g h
Agora, calculamos a energia potencial:
h

Passo 5

(d) Energia mecânica do corpo
A energia mecânica é a soma da energia cinética e da energia potencial:
EM = EC + EP
Durante a queda livre sem resistência do ar, a energia mecânica é conservada. No ponto de partida, toda a energia é potencial, e na base, toda é cinética.
Usando os valores que já calculamos:
Quando o corpo atinge o solo ($ h = 0 $):
h = 0

Passo 6

(2°) Reação do solo à penetração de 0,5 metros
Aqui, queremos encontrar a força que o solo exerce para parar o corpo que penetrou 0,5 metros. Usamos o trabalho e a energia para resolver isso.
O trabalho realizado pela força de reação é igual à energia cinética do corpo no momento do impacto.
Trabalho = F times d = EM
Onde:
  • $ F $ é a força de reação,
  • $ d = 0,5 , m $ é a distância de penetração,
  • $ EM = 1800 , J $ é a energia mecânica.
Resolvendo para $ F $:
F

Resposta

(a) A quantidade de movimento após 3 segundos é de 120 kg·m/s.
(b) A energia cinética após percorrer 20 metros é de 800 Joules.
© A energia potencial quando a velocidade é de 50 m/s é de 5000 Joules.
(d) A energia mecânica do corpo é de 1800 Joules.
(2°) A reação do solo à penetração de 0,5 metros é de 3600 Newtons.

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