Um projétil de massa 6 g é disparado horizontalmente e atinge um pêndulo balístico de massa 1 kg com velocidade de 400 m / s. A bala atravessa o pêndulo e sai com velocidade de 60 m / s. Admitindo g=10 m / s^2 e sabendo que a espessura do pêndulo é de 30 cm determine: (a) a intensidade da força retardadora, suposta constante, que age sobre o projétil, em sua passagem pelo pêndulo; (b) a altura em que o pêndulo se eleva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema envolve um projétil que atinge um pêndulo balístico. Vamos precisar usar conceitos de cinemática para calcular a força retardadora que age sobre o projétil e energia potencial para descobrir a altura que o pêndulo alcança. Só para relembrar, cinemática estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas desse movimento, enquanto energia potencial está relacionada à energia que um objeto possui devido à sua posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o projétil. Ele entra no pêndulo com uma certa velocidade e sai com uma velocidade menor. Queremos encontrar a força que está retardando o projétil enquanto ele passa pelo pêndulo.
Sabemos que:
  • Massa do projétil, $ m = 6 , g = 0,006 , kg $
  • Velocidade inicial, $ v_i = 400 , m/s $
  • Velocidade final, $ v_f = 60 , m/s $
  • Distância percorrida no pêndulo, $ s = 30 , cm = 0,3 , m $
Vamos usar a equação de movimento que relaciona velocidade, aceleração e distância:
m = 6 , g = 0,006 , kg
Queremos encontrar a aceleração $ a $. Rearranjando a equação:
vi = 400 , m/s
Substituindo os valores:
vf = 60 , m/s
O sinal negativo indica que a aceleração é retardadora.
Agora, para encontrar a força retardadora $ F $, usamos a segunda lei de Newton:
s = 30 , cm = 0,3 , m
Substituindo:
vf^2 = vi^2 + 2 a s
O sinal negativo mostra que a força está na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Agora, vamos calcular a altura que o pêndulo alcança após ser atingido pelo projétil. Para isso, precisamos usar a conservação da energia. A energia cinética transferida para o pêndulo se transforma em energia potencial gravitacional quando ele sobe até a altura máxima.
Primeiro, vamos calcular a velocidade com que o pêndulo está se movendo após o impacto. Para isso, usamos a conservação da quantidade de movimento. Sabemos que o projétil atravessa o pêndulo, então a quantidade de movimento perdida pelo projétil é igual à ganho pelo pêndulo.
Quantidade de movimento inicial do projétil:
pi = m times vi = 0,006 , kg times 400 , m/s = 2,4 , kg cdot m/s
Quantidade de movimento final do projétil:
pf = 0,006 , kg times 60 , m/s = 0,36 , kg cdot m/s
Mudança na quantidade de movimento do projétil:
De
Essa é a quantidade de movimento transferida para o pêndulo. Então, a velocidade do pêndulo $ v_p $ é:
vp
Agora, usando a conservação da energia, a energia cinética do pêndulo se transforma em energia potencial no ponto mais alto:
vp = De
Podemos simplificar cancelando a massa $ M $:
12 M vp^2 = M g h
Resolvendo para $ h $:
M
Convertendo para centímetros:
12 vp^2 = g h

Resposta

(a) A intensidade da força retardadora é de aproximadamente $ 1564 , N $ na direção oposta ao movimento do projétil.
(b) O pêndulo se eleva até uma altura de aproximadamente $ 20,8 , cm $.

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