Um corpo é colocado em contato com um reservatório térmico à temperatura
. Suponha que inicialmente o corpo esteja à temperatura
e que a capacidade térmica isocórica
do corpo seja constante. Mostre que a variação de entropia do sistema (corpo+reservatório) é positiva, isto é,
, satisfazendo assim a
lei da termodinâmica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um corpo com temperatura inicial $ T_1 $ sendo colocado em contato com um reservatório térmico à temperatura $ T_0
C_v $) do corpo é constante. Nosso objetivo é mostrar que a variação total de entropia do sistema (corpo + reservatório) é positiva, ou seja, $ \Delta S > 0 $. Isso está relacionado à segunda lei da termodinâmica, que fala justamente sobre a tendência dos sistemas de aumentar sua entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é entropia. Entropia é uma medida da desordem ou aleatoriedade de um sistema. Segundo a segunda lei da termodinâmica, em processos naturais, a entropia total do sistema e do ambiente sempre aumenta.
Passo 3
Vamos considerar que o corpo troca calor com o reservatório até atingir o equilíbrio térmico, ou seja, até que as temperaturas fiquem iguais. Como o reservatório está à temperatura $ T_0 $, no equilíbrio térmico o corpo também ficará à temperatura $ T_0 $.
Passo 4
Vamos calcular a quantidade de calor trocada pelo corpo. Como a capacidade térmica a volume constante ($ C_v $) é constante, a quantidade de calor $ Q $ que o corpo troca é dada por:
Aqui, $ T_0 - T_1 $ é a variação de temperatura do corpo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação de entropia do corpo. A variação de entropia ($ \Delta S_{corpo} $) quando um corpo troca calor $ Q $ à temperatura $ T $ é dada por:
No nosso caso, como o corpo está esfriando de $ T_1 $ para $ T_0 $, a entropia do corpo diminui:
Onde $ T_avg $ é uma temperatura média. Porém, para simplificar, vamos considerar que a troca de calor ocorre de maneira reversível, então podemos integrar a expressão:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variação de entropia do reservatório ($ \Delta S_{reservatório} $). O reservatório está à temperatura constante $ T_0 $, então:
O sinal negativo ocorre porque o reservatório está perdendo calor.
Passo 7
A variação total de entropia do sistema (corpo + reservatório) é a soma das variações individuais:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 8
Vamos analisar se $ \Delta S_{total} $ é positivo. Sabemos que:
para $ T_0 $ e $ T_1 $ positivos e diferentes. Portanto:
Isso mostra que a variação de entropia do sistema é positiva.
Resposta
A variação total de entropia do sistema (corpo + reservatório) é positiva, ou seja, $ \Delta S > 0 $, comprovando a segunda lei da termodinâmica.