Um bloco está apoiado em um êmbolo que se move verticalmente em um movimento harmônico simples. (a) Se o MHS tem um período de 1,0 s, para que valor da amplitude do movimento o bloco e o êmbolo se movem continuamente em contato?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco apoiado em um êmbolo que se move para cima e para baixo de forma periódica, no que chamamos de Movimento Harmônico Simples (MHS). O período desse movimento é de 1,0 segundo. A pergunta quer saber qual deve ser a amplitude desse movimento para que o bloco e o êmbolo continuem sempre em contato, ou seja, que o bloco não “solte” do êmbolo durante todo o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Movimento Harmônico Simples. No MHS, a posição de um objeto varia sinusoidalmente ao longo do tempo. A equação geral para a aceleração no MHS é:
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
A aceleração máxima ocorre quando o cosseno vale 1, então a aceleração máxima $ a_{max} $ é:
A

Passo 3

Para que o bloco permaneça em contato com o êmbolo, a aceleração máxima do êmbolo não pode ser maior que a aceleração da gravidade $ g $ (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $). Assim, temos a condição:
g

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a frequência angular $ \omega $ com o período $ T $. Sabemos que:
omega
Substituindo essa expressão na condição anterior:
T

Passo 5

Vamos isolar a amplitude $ A $:
A

Passo 6

Agora, é só substituir os valores conhecidos na fórmula. Sabemos que $ T = 1,0 , s $ e $ g = 9,81 , m/s^2 $:
T = 1,0 , s
g = 9,81 , m/s^2
A <= 9,81 times (1,0)^24 times pi^2
A <= 9,814 times 9,8696

Resposta

A amplitude mínima necessária para que o bloco e o êmbolo permaneçam continuamente em contato é de aproximadamente 0,248 metros.

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