Um corpo executa um movimento circular uniforme. A circunferência está em um plano x y e centrada na origem de coordenadas. No instante t1=pi s a velocidade é v1=(4 i+3 j) m / s. Em t2=2 pi s a velocidade do corpo é v2=-(4 i+3 j) m / s. Se t2-t1 é menor que um período, determine (a) a velocidade angular,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo que está fazendo um movimento circular uniforme no plano , centrado na origem. Sabemos as velocidades dele em dois instantes de tempo: em e em . Precisa encontrar a velocidade angular desse movimento. Pra isso, vamos usar conceitos de cinemática circular, especificamente a relação entre velocidade linear e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular uniforme, a velocidade linear v = omega r está sempre tangente à trajetória circular. A velocidade angular relaciona-se com a velocidade linear pela fórmula:
onde é a velocidade linear e é o raio da trajetória.

Passo 3

Vamos analisar as velocidades nos dois instantes de tempo dados:
v1 = 4i + 3j, m/s em t1 = pi,s
v2 = -4i - 3j, m/s em t2 = 2pi,s
Observamos que é o oposto de , o que indica que o corpo completou meio ciclo no intervalo de tempo .

Passo 4

Como o movimento é circular uniforme, o tempo que leva para completar um círculo completo (período T = 2(t2 - t1) = 2pi,s ) está relacionado ao tempo para completar meio ciclo. Aqui, corresponde a meio período. Então, o período completo é:

Passo 5

A velocidade angular omega = 2piT está relacionada ao período pela fórmula:
omega = 2pi2pi = 1,rad/s
Substituindo o valor de :

Resposta

A velocidade angular do corpo é .

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