Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média
das moléculas de ar. Mostre, então, que pressão obedece à equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei dos Gases Ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão (
), temperatura (
) e a massa média (
) das moléculas de ar. Depois, precisamos mostrar que a pressão segue uma certa equação diferencial. Então, vamos precisar entender a Lei dos Gases Ideais e como relacionar esses conceitos para chegar na densidade e na equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Passo 3
Queremos encontrar a densidade (
) do ar. A densidade é definida como a massa (
) dividida pelo volume (
):
Passo 4
Sabemos que a quantidade de mols (
) pode ser relacionada à massa e à massa molar (
) pelas moléculas:
Onde
é a massa molar das moléculas de ar.
Passo 5
Substituindo
na equação da Lei dos Gases Ideais, temos:
Passo 6
Queremos isolar
. Vamos rearranjar a equação para isso. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, isolamos a densidade
:
Então, a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e massa média das moléculas é:
Passo 8
Agora, vamos mostrar que a pressão obedece a uma equação diferencial. Para isso, podemos relacionar a densidade com a variação da pressão em relação à altura ou outra variável pertinente, dependendo do contexto do problema. Porém, sem informações adicionais, vamos assumir que estamos lidando com uma situação onde a pressão varia com a densidade.
A derivada da densidade em relação a alguma variável (por exemplo, espaço ou tempo) nos levaria a uma equação diferencial envolvendo
.
Como já estabelecemos
, se considerarmos que
é constante, podemos derivar ambos os lados em relação a
:
Isso mostra uma relação linear entre a variação da densidade e a pressão, formando uma equação diferencial simples:
Resposta
A densidade do ar em termos de pressão, temperatura e massa média das moléculas é dada por:
Além disso, a pressão obedece à equação diferencial:
Exercícios relacionados
onde
e
são constantes que dependem do tipo de gás. Calcule o segundo e terceiro coeficientes viriais (
e
) para um gás obedecendo à equação de van der Waals, em termos de
e
. (Dica: a expansão binomial diz que
, desde que
. Aplique esta aproximação na expressão
.)
Mostre que o trabalho realizado por um gás ideal que passa por um processo isotérmico pode ser escrito como
Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A pedra leva 1 s para percorrer a segunda metade da sua trajetória até a altura máxima. Determine a velocidade de lançamento e a altura máxima alcançada pela pedra. Usar
.
(2 pontos)
(2 pontos)
Um corpo executa um movimento circular uniforme. A circunferência está em um plano
e centrada na origem de coordenadas. No instante
a velocidade é
. Em
a velocidade do corpo é
. Se
é menor que um período, determine (a) a velocidade angular,