Use a lei dos gases ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e a massa média das moléculas de ar. Mostre, então, que pressão obedece à equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei dos Gases Ideais para escrever a densidade do ar em termos de pressão ( ), temperatura ( ) e a massa média ( ) das moléculas de ar. Depois, precisamos mostrar que a pressão segue uma certa equação diferencial. Então, vamos precisar entender a Lei dos Gases Ideais e como relacionar esses conceitos para chegar na densidade e na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de mols,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.

Passo 3

Queremos encontrar a densidade ( ) do ar. A densidade é definida como a massa ( ) dividida pelo volume ( ):

Passo 4

Sabemos que a quantidade de mols ( ) pode ser relacionada à massa e à massa molar ( ) pelas moléculas:
Onde é a massa molar das moléculas de ar.

Passo 5

Substituindo na equação da Lei dos Gases Ideais, temos:

Passo 6

Queremos isolar . Vamos rearranjar a equação para isso. Primeiro, dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, isolamos a densidade :
Então, a densidade do ar em termos de pressão, temperatura e massa média das moléculas é:

Passo 8

Agora, vamos mostrar que a pressão obedece a uma equação diferencial. Para isso, podemos relacionar a densidade com a variação da pressão em relação à altura ou outra variável pertinente, dependendo do contexto do problema. Porém, sem informações adicionais, vamos assumir que estamos lidando com uma situação onde a pressão varia com a densidade.
A derivada da densidade em relação a alguma variável (por exemplo, espaço ou tempo) nos levaria a uma equação diferencial envolvendo .
Como já estabelecemos , se considerarmos que é constante, podemos derivar ambos os lados em relação a :
Isso mostra uma relação linear entre a variação da densidade e a pressão, formando uma equação diferencial simples:

Resposta

A densidade do ar em termos de pressão, temperatura e massa média das moléculas é dada por:
Além disso, a pressão obedece à equação diferencial:

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