Um corpo de é lançado com uma velocidade de por um plano inclinado acima. O ângulo do plano com a horizontal é de . Quando o corpo percorreu 8 m , sua velocidade para cima caiu para . Calcular:
a) O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano;
b) A distância percorrida pelo corpo entre o ponto de partida e o instante em que fica momentaneamente em repouso;
c) A velocidade do corpo ao atingir, de volta, o ponto inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um corpo de 4,5 kg sendo lançado por um plano inclinado de 37° com a horizontal, com uma velocidade inicial de 14 m/s. Depois de percorrer 8 metros, a velocidade do corpo cai para 5,2 m/s. Vamos resolver as seguintes partes:
a) Encontrar o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano.
b) Calcular a distância percorrida pelo corpo desde o ponto de partida até o instante em que ele fica momentaneamente em repouso.
c) Determinar a velocidade do corpo ao retornar ao ponto inicial.
Vamos usar as leis de Newton e as equações de movimento para resolver cada parte.

Passo 2

Parte a) - Coeficiente de atrito cinético
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no corpo enquanto ele sobe o plano inclinado:
  1. Peso §: P = m * g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²).
  2. Componente do peso paralela ao plano (P_paralela): P_paralela = P * sen(θ)
  3. Componente do peso perpendicular ao plano (P_perpendicular): P_perpendicular = P * cos(θ)
  4. Força de atrito (F_atrito): F_atrito = μ * N, onde μ é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal (igual a P_perpendicular).

Passo 3

Vamos calcular as componentes do peso:
  • P = m * g = 4,5 kg * 9,81 m/s² ≈ 44,145 N
  • P_paralela = 44,145 N * sen(37°) ≈ 44,145 N * 0,6018 ≈ 26,58 N
  • P_perpendicular = 44,145 N * cos(37°) ≈ 44,145 N * 0,7986 ≈ 35,22 N

Passo 4

A força de atrito é dada por:
F_atrito = μ * N = μ * 35,22 N
Essa força atua contra o movimento do corpo, contribuindo para a desaceleração.

Passo 5

A força resultante que causa a desaceleração do corpo é a soma das forças que atuam na direção do movimento (para cima):
F_total = P_paralela + F_atrito = 26,58 N + μ * 35,22 N
Segundo a segunda lei de Newton:
F = m * a
Portanto, a aceleração (que nesse caso é uma desaceleração) é:
a = F_total / m = (26,58 + μ * 35,22) / 4,5
Como a força resulta em desaceleração:
a = - (26,58 + μ * 35,22) / 4,5

Passo 6

Agora, vamos usar a equação de movimento para encontrar a aceleração:
v_f² = v_i² + 2 * a * d
Onde:
  • v_f = 5,2 m/s (velocidade final)
  • v_i = 14 m/s (velocidade inicial)
  • d = 8 m (distância percorrida)
Isolando a:
a = (v_f² - v_i²) / (2 * d) = (5,2² - 14²) / (2 * 8) = (27,04 - 196) / 16 = -168,96 / 16 ≈ -10,56 m/s²

Passo 7

Igualamos as duas expressões para a aceleração:
-10,56 = - (26,58 + μ * 35,22) / 4,5
Multiplicando ambos os lados por 4,5:
-10,56 * 4,5 = -26,58 - μ * 35,22
-47,52 = -26,58 - μ * 35,22
Multiplicando ambos os lados por -1:
47,52 = 26,58 + μ * 35,22
Isolando μ:
μ * 35,22 = 47,52 - 26,58 = 20,94
μ = 20,94 / 35,22 ≈ 0,595

Passo 8

Parte b) - Distância até parar
Queremos encontrar a distância (d) que o corpo percorre até parar, ou seja, quando sua velocidade final será 0 m/s.
Usando novamente a equação de movimento:
v_f² = v_i² + 2 * a * d
Aqui:
  • v_f = 0 m/s
  • v_i = 5,2 m/s (velocidade ao final dos 8 metros)
  • a = -10,56 m/s² (desaceleração)
Isolando d:
0 = (5,2)² + 2 * (-10,56) * d
0 = 27,04 - 21,12 * d
21,12 * d = 27,04
d = 27,04 / 21,12 ≈ 1,28 m

Passo 9

Parte c) - Velocidade ao retornar ao ponto inicial
Para determinar a velocidade ao retornar, consideramos que o corpo sobe até a distância total (8 m + 1,28 m = 9,28 m) e depois desce o mesmo plano inclinado com atrito constante.
Durante a descida, as forças de resistência (atração cinética) continuam atuando, fazendo com que o corpo desacelere igualmente no retorno.
Vamos usar a conservação de energia considerando o trabalho das forças de atrito:
No ponto mais alto, a velocidade é 0 m/s. Ao descer, a energia potencial é convertida em energia cinética, mas parte dela é dissipada pelo atrito.
A equação fica:
m * g * h = (1/2) * m * v² + F_atrito * d_total
Onde h é a altura total (d_total * senθ).
Calculando h:
h = 9,28 m * sen(37°) ≈ 9,28 m * 0,6018 ≈ 5,58 m
Substituindo:
4,5 * 9,81 * 5,58 = 0,5 * 4,5 * v² + μ * 35,22 * 9,28
207,808 ≈ 2,25 * v² + 0,595 * 35,22 * 9,28
207,808 ≈ 2,25 * v² + 195,48
Isolando v²:
2,25 * v² = 207,808 - 195,48 ≈ 12,328
v² ≈ 12,328 / 2,25 ≈ 5,48
v ≈ √5,48 ≈ 2,34 m/s

Resposta

a) O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano é aproximadamente 0,595.
b) A distância percorrida pelo corpo até parar é de aproximadamente 1,28 metros.
c) A velocidade do corpo ao retornar ao ponto inicial é de aproximadamente 2,34 m/s.

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