Um corpo de 4,0 kg de massa é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade de 36 km / h. Nesse local a resistência do ar é desprezível. No instante em que sua energia cinética é igual à sua energia potencial gravitacional, em relação ao ponto de lançamento, qual o módulo de sua velocidade? [7,07 m / s ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de 4,0 , kg que é lançado pra cima com uma velocidade de 36 , km/h. A gente precisa descobrir qual a velocidade desse corpo quando a sua energia cinética for igual à sua energia potencial gravitacional. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial, além de fazer umas conversões de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de 36 , km/h para metros por segundo, porque as fórmulas que vamos usar trabalham com SI (Sistema Internacional). Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s = 518 , m/s
Então:
36 , km/h times 518 = 10 , m/s
A velocidade inicial do corpo é 10 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas de energia:
  • Energia Cinética (EC):
EC = 12 m v^2
  • Energia Potencial Gravitacional (EP):
EP = m g h
Onde:
  • m é a massa,
  • v é a velocidade,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 , m/s^2),
  • h é a altura.

Passo 4

Como queremos o ponto em que a energia cinética é igual à energia potencial, vamos igualar as duas fórmulas:
12 m v^2 = m g h
A massa m aparece dos dois lados e pode ser cancelada:
12 v^2 = g h
Isso nos mostra que a velocidade está relacionada à altura nesse ponto.

Passo 5

Mas, a gente precisa relacionar a altura h com a velocidade inicial. Sabemos que no ponto mais alto, toda a energia cinética inicial se transforma em energia potencial. Porém, aqui estamos procurando o ponto onde elas são iguais, ou seja, metade da energia inicial foi convertida.
A energia cinética inicial é:
ECinicial = 12 m v0^2
E queremos:
EC = EP = 12 ECinicial

Passo 6

Então, voltando à equação 12 v^2 = g h, podemos relacionar a altura h com a velocidade inicial v0 usando a conservação de energia. No ponto onde EC = EP, temos:
12 m v^2 = m g h
Sabendo que no ponto mais alto v = 0 e toda a EC inicial vira EP, podemos escrever:
12 m v0^2 = m g hmáx á
Assim, a altura onde EC = EP é a metade da altura máxima:
h = hmáx2 = v0^22g2 = v0^24g á

Passo 7

Agora, voltando à equação 12 v^2 = g h, substituímos h:
12 v^2 = g ( v0^24g )
Simplificando:
12 v^2 = v0^24
Multiplicando ambos os lados por 2:
v^2 = v0^22
Tirando a raiz quadrada:
v = v0raiz2
Substituindo v0 = 10 , m/s:
v = 10raiz2 approx 7,07 , m/s

Resposta

A velocidade do corpo quando sua energia cinética é igual à sua energia potencial é aproximadamente 7,07 , m/s.

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