Um corpo de de massa é lançado do solo, verticalmente para cima, com velocidade de . Nesse local a resistência do ar é desprezível. No instante em que sua energia cinética é igual à sua energia potencial gravitacional, em relação ao ponto de lançamento, qual o módulo de sua velocidade? ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de que é lançado pra cima com uma velocidade de . A gente precisa descobrir qual a velocidade desse corpo quando a sua energia cinética for igual à sua energia potencial gravitacional. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial, além de fazer umas conversões de unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de para metros por segundo, porque as fórmulas que vamos usar trabalham com SI (Sistema Internacional). Sabemos que:
Então:
A velocidade inicial do corpo é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas de energia:
  • Energia Cinética (EC):
  • Energia Potencial Gravitacional (EP):
Onde:
  • é a massa,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.

Passo 4

Como queremos o ponto em que a energia cinética é igual à energia potencial, vamos igualar as duas fórmulas:
A massa aparece dos dois lados e pode ser cancelada:
Isso nos mostra que a velocidade está relacionada à altura nesse ponto.

Passo 5

Mas, a gente precisa relacionar a altura com a velocidade inicial. Sabemos que no ponto mais alto, toda a energia cinética inicial se transforma em energia potencial. Porém, aqui estamos procurando o ponto onde elas são iguais, ou seja, metade da energia inicial foi convertida.
A energia cinética inicial é:
E queremos:

Passo 6

Então, voltando à equação , podemos relacionar a altura com a velocidade inicial usando a conservação de energia. No ponto onde , temos:
Sabendo que no ponto mais alto e toda a EC inicial vira EP, podemos escrever:
á
Assim, a altura onde é a metade da altura máxima:
á

Passo 7

Agora, voltando à equação , substituímos :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada:
Substituindo :

Resposta

A velocidade do corpo quando sua energia cinética é igual à sua energia potencial é aproximadamente .

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