Um corpo de 1,5 kg oscila com movimento harmônico simples, preso a uma mola com a constante k=500 N / m. A sua velocidade máxima é 70 cm / s. (a) Qual a energia total? (b) Qual a amplitude da oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo de 1,5,kg preso a uma mola com constante elástica k = 500,N/m que está fazendo um movimento harmônico simples (MHS). A velocidade máxima desse corpo é 70,cm/s, que vamos converter para 0,7,m/s. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A energia total do sistema.
b) A amplitude da oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de energia no movimento harmônico simples e relacionar velocidade máxima com a amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a energia total no MHS. A energia total ( E) de um sistema que faz MHS é igual à energia potencial máxima armazenada na mola, que é a mesma que a energia cinética máxima do corpo. A fórmula para a energia total é:
E = 12kA^2
Onde:
  • k é a constante da mola.
  • A é a amplitude da oscilação.
Mas, também podemos relacionar a energia total com a velocidade máxima. A energia cinética máxima ( Ec) é dada por:
Ec = 12mvmax^2
Onde:
  • m é a massa do corpo.
  • vmax é a velocidade máxima.
Como a energia total é igual à energia cinética máxima, podemos igualar as duas expressões:
12kA^2 = 12mvmax^2

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): Qual é a energia total?
Usando a fórmula da energia cinética máxima:
E = 12mvmax^2
Substituindo os valores fornecidos:
E = 12 times 1,5,kg times (0,7,m/s)^2
Primeiro, calculamos (0,7)^2:
(0,7)^2 = 0,49
Agora, multiplicamos:
E = 12 times 1,5 times 0,49 = 0,75 times 0,49 = 0,3675,J

Passo 4

Agora, a parte (b): Qual é a amplitude da oscilação?
Voltamos à equação que relaciona energia total e amplitude:
E = 12kA^2
Queremos encontrar A, então isolamos A:
A = raiz2Ek
Já temos E de antes, que é 0,3675,J, e k = 500,N/m. Substituindo:
A = raiz2 times 0,3675500 = raiz0,735500 = raiz0,00147
Calculando a raiz quadrada:
A approx 0,0383,m
Ou seja, aproximadamente 3,83,cm.

Resposta

a) A energia total do sistema é aproximadamente 0,3675,J.
b) A amplitude da oscilação é cerca de 3,83,cm.

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