Um corpo de oscila com movimento harmônico simples, preso a uma mola com a constante . A sua velocidade máxima é . (a) Qual a energia total? (b) Qual a amplitude da oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo de preso a uma mola com constante elástica que está fazendo um movimento harmônico simples (MHS). A velocidade máxima desse corpo é , que vamos converter para . Precisamos descobrir duas coisas:
a) A energia total do sistema.
b) A amplitude da oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de energia no movimento harmônico simples e relacionar velocidade máxima com a amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a energia total no MHS. A energia total ( ) de um sistema que faz MHS é igual à energia potencial máxima armazenada na mola, que é a mesma que a energia cinética máxima do corpo. A fórmula para a energia total é:
Onde:
  • é a constante da mola.
  • é a amplitude da oscilação.
Mas, também podemos relacionar a energia total com a velocidade máxima. A energia cinética máxima ( ) é dada por:
Onde:
  • é a massa do corpo.
  • é a velocidade máxima.
Como a energia total é igual à energia cinética máxima, podemos igualar as duas expressões:

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): Qual é a energia total?
Usando a fórmula da energia cinética máxima:
Substituindo os valores fornecidos:
Primeiro, calculamos :
Agora, multiplicamos:

Passo 4

Agora, a parte (b): Qual é a amplitude da oscilação?
Voltamos à equação que relaciona energia total e amplitude:
Queremos encontrar , então isolamos :
Já temos de antes, que é , e . Substituindo:
Calculando a raiz quadrada:
Ou seja, aproximadamente .

Resposta

a) A energia total do sistema é aproximadamente .
b) A amplitude da oscilação é cerca de .

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