Um corpo de
oscila com movimento harmônico simples, preso a uma mola com a constante
. A sua velocidade máxima é
. (a) Qual a energia total? (b) Qual a amplitude da oscilação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo de
preso a uma mola com constante elástica
que está fazendo um movimento harmônico simples (MHS). A velocidade máxima desse corpo é
, que vamos converter para
. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A energia total do sistema.
b) A amplitude da oscilação.
b) A amplitude da oscilação.
Para isso, vamos usar conceitos de energia no movimento harmônico simples e relacionar velocidade máxima com a amplitude.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a energia total no MHS. A energia total (
) de um sistema que faz MHS é igual à energia potencial máxima armazenada na mola, que é a mesma que a energia cinética máxima do corpo. A fórmula para a energia total é:
Onde:
-
é a constante da mola. -
é a amplitude da oscilação.
Mas, também podemos relacionar a energia total com a velocidade máxima. A energia cinética máxima (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa do corpo. -
é a velocidade máxima.
Como a energia total é igual à energia cinética máxima, podemos igualar as duas expressões:
Passo 3
Vamos resolver a parte (a): Qual é a energia total?
Usando a fórmula da energia cinética máxima:
Substituindo os valores fornecidos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos:
Passo 4
Agora, a parte (b): Qual é a amplitude da oscilação?
Voltamos à equação que relaciona energia total e amplitude:
Queremos encontrar
, então isolamos
:
Já temos
de antes, que é
, e
. Substituindo:
Calculando a raiz quadrada:
Ou seja, aproximadamente
.
Resposta
a) A energia total do sistema é aproximadamente
.
b) A amplitude da oscilação é cerca de
.