Um bloco de madeira escorrega sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está preso a uma mola e oscila com o período de
. Um segundo bloco está sobre o topo do primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,25. (a) Se a amplitude das oscilações for 1 cm, o bloco que está no topo escorregará? (b) Qual a maior amplitude da oscilação que garanta que o bloco do topo não escorrega?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois blocos ligados a uma mola que está oscilando. O conteúdo principal aqui é o estudo do movimento harmônico simples e a fricção estática. Vamos precisar das fórmulas do período de oscilação e das condições para que um bloco não deslize sobre o outro usando o coeficiente de atrito estático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o período de oscilação. O período
é o tempo que a mola leva para completar uma oscilação completa. A fórmula do período para um sistema massa-mola é:
onde
é a massa e
é a constante elástica da mola. Mas, nesse caso, como não conhecemos
e
, vamos focar na força que age sobre o bloco de cima.
Passo 3
Quando a mola oscila, o bloco em cima sente uma aceleração devido à oscilação. Para o bloco de cima não escorregar, a força de atrito estático
precisa ser maior ou igual à força necessária para causar a aceleração. A força de atrito estático é dada por:
onde
é o coeficiente de atrito estático e
é a força normal. Como estamos em uma superfície horizontal,
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
A força necessária para que o bloco de cima não escorregue é proporcional à aceleração máxima da oscilação. A aceleração máxima
em um movimento harmônico simples é:
onde
é a frequência angular e
é a amplitude das oscilações.
Passo 5
Vamos calcular
usando o período
:
Agora, para a parte (a), com
:
Passo 6
A força de atrito disponível é:
Para o bloco não escorregar,
:
Como
aparece nos dois lados, podemos cancelá-lo:
Isso é verdadeiro, então o bloco de cima não vai escorregar com uma amplitude de 1 cm.
Passo 7
Para a parte (b), queremos encontrar a maior amplitude
que garante que o bloco não escorregue. Usamos a condição
:
Cancelando
:
Resolvendo para
:
Resposta
(a) Não, o bloco de cima não escorregará com uma amplitude de 1 cm.
(b) A maior amplitude que garante que o bloco do topo não escorrega é aproximadamente 3,97 cm.
(b) A maior amplitude que garante que o bloco do topo não escorrega é aproximadamente 3,97 cm.