Um bloco de madeira escorrega sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está preso a uma mola e oscila com o período de 0,8 s. Um segundo bloco está sobre o topo do primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,25. (a) Se a amplitude das oscilações for 1 cm, o bloco que está no topo escorregará? (b) Qual a maior amplitude da oscilação que garanta que o bloco do topo não escorrega?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois blocos ligados a uma mola que está oscilando. O conteúdo principal aqui é o estudo do movimento harmônico simples e a fricção estática. Vamos precisar das fórmulas do período de oscilação e das condições para que um bloco não deslize sobre o outro usando o coeficiente de atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o período de oscilação. O período T = 2pi raizmk é o tempo que a mola leva para completar uma oscilação completa. A fórmula do período para um sistema massa-mola é:
onde é a massa e é a constante elástica da mola. Mas, nesse caso, como não conhecemos e , vamos focar na força que age sobre o bloco de cima.

Passo 3

Quando a mola oscila, o bloco em cima sente uma aceleração devido à oscilação. Para o bloco de cima não escorregar, a força de atrito estático fs = mus cdot N precisa ser maior ou igual à força necessária para causar a aceleração. A força de atrito estático é dada por:
onde é o coeficiente de atrito estático e é a força normal. Como estamos em uma superfície horizontal, , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 4

A força necessária para que o bloco de cima não escorregue é proporcional à aceleração máxima da oscilação. A aceleração máxima amax = omega^2 cdot A em um movimento harmônico simples é:
onde é a frequência angular e é a amplitude das oscilações.

Passo 5

Vamos calcular omega = 2pi0,8 = 2pi0,8 approx 7,85 , rad/s usando o período amax = 7,85^2 cdot 0,01 approx 0,616 , m/s^2 :
Agora, para a parte (a), com :

Passo 6

A força de atrito disponível é:
fs = mus cdot m g = 0,25 cdot m cdot 9,8 = 2,45 cdot m
Para o bloco não escorregar, 2,45 cdot m >= m cdot 0,616 :
2,45 >= 0,616
Como aparece nos dois lados, podemos cancelá-lo:
Isso é verdadeiro, então o bloco de cima não vai escorregar com uma amplitude de 1 cm.

Passo 7

Para a parte (b), queremos encontrar a maior amplitude mus m g >= m omega^2 Amax que garante que o bloco não escorregue. Usamos a condição mus g >= omega^2 Amax :
Amax <= mus gomega^2 = 0,25 cdot 9,87,85^2 approx 2,4561,62 approx 0,0397 , m , (ou , 3,97 , cm)
Cancelando :
Resolvendo para :

Resposta

(a) Não, o bloco de cima não escorregará com uma amplitude de 1 cm.
(b) A maior amplitude que garante que o bloco do topo não escorrega é aproximadamente 3,97 cm.

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