Um corpo de massa 0,12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5 cm e período e 0,20 s. (a) Qual o módulo da força máxima que age sobre o corpo? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante da mola? © Quando o deslocamento é de metade da amplitude, que fração da energia é energia potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um movimento harmônico simples (MHS), que é aquele movimento oscilatório, tipo um pêndulo ou uma mola vibrando. Temos os seguintes dados:
  • Massa do corpo: 0,12, kg
  • Amplitude das oscilações: 8,5, cm (que é o quanto o corpo se desloca do ponto de equilíbrio)
  • Período das oscilações: 0,20, s (tempo que leva para completar uma oscilação)
Vamos resolver as três partes do exercício passo a passo, usando fórmulas de MHS que envolvem massa, força, constante da mola e energia.

Passo 2

Parte (a): Qual o módulo da força máxima que age sobre o corpo?
No MHS, a força máxima ocorre quando o corpo está na amplitude máxima. A fórmula para a força máxima ( Fmax) é:
Fmax = m cdot omega^2 cdot A
Onde:
  • m é a massa
  • omega é a frequência angular
  • A é a amplitude
Primeiro, precisamos achar omega. Sabemos que o período ( T) é 0,20, s, e a relação entre omega e T é:
omega = 2piT
Substituindo T:
omega = 2pi0,20 = 10pi, rad/s
Agora, precisamos transformar a amplitude de centímetros para metros:
A = 8,5, cm = 0,085, m
Finalmente, substituímos os valores na fórmula de Fmax:
Fmax = 0,12, kg cdot (10pi)^2 cdot 0,085, m
Fmax = 0,12 cdot 100pi^2 cdot 0,085
Fmax approx 0,12 cdot 986,96 cdot 0,085 approx 10,08, N

Passo 3

Parte (b): Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante da mola?
A constante da mola ( k) está relacionada com a força máxima e a amplitude através da fórmula:
Fmax = k cdot A
Rearranjando para encontrar k:
k = FmaxA
Já calculamos Fmax approx 10,08, N e A = 0,085, m:
k = 10,080,085 approx 118,59, N/m

Passo 4

Parte ©: Quando o deslocamento é de metade da amplitude, que fração da energia é energia potencial?
A energia total ( E) no MHS é composta por energia cinética e potencial e é dada por:
E = 12kA^2
A energia potencial ( U) quando o deslocamento é x é:
U = 12kx^2
Queremos a fração U/E quando x = A2:
U = 12k(A2)^2 = 12kA^24 = 18kA^2
E = 12kA^2
Então:
UE = 18kA^212kA^2 = 14
Ou seja, a energia potencial é 14 (ou 25%) da energia total quando o deslocamento é metade da amplitude.

Resposta

(a) A força máxima que age sobre o corpo é aproximadamente 10,08, N.
(b) A constante da mola é aproximadamente 118,59, N/m.
© Quando o deslocamento é de metade da amplitude, a energia potencial corresponde a 14 (25%) da energia total.

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