(a) Estrela originam-se como grandes corpos de gás girando lentamente. Por causa da gravidade, esses aglomerados de gás diminuem de tamanho lentamente. O que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe? (b) Por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que essa questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Queremos saber o que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe.
(b) Queremos entender por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar.
(a) Queremos saber o que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe.
(b) Queremos entender por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar.
Vamos precisar entender um pouco sobre momento angular e equilíbrio estático para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A estrela está encolhendo por causa da gravidade. Quando isso acontece, o tamanho dela diminui, mas a quantidade de momento angular precisa se conservar. O momento angular
é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Para uma esfera, o momento de inércia é:
Aqui,
é o raio da estrela. Se a estrela encolhe,
diminui. Como
é constante (sem forças externas), se
diminui,
precisa aumentar para manter
constante. Ou seja, a velocidade angular da estrela aumenta quando ela encolhe.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). O equilibrista está na corda bamba e usa uma vara longa para se equilibrar. A vara funciona aumentando o braço de alavanca, o que ajuda a distribuir o peso e aumentar a estabilidade.
Quando o equilibrista move a vara, ele altera o centro de massa e o momento de inércia do sistema. Com uma vara longa, pequenas correções na posição ajudam a manter o equilíbrio, pois uma maior extensão permite ajustes mais suaves e controlados. Basicamente, a vara longa ajuda a criar um momento que contrabalança pequenos desvios, facilitando o equilíbrio na corda.
Resposta
(a) A velocidade angular da estrela aumenta quando ela encolhe.
(b) Uma vara longa aumenta a estabilidade do equilibrista, facilitando o equilíbrio na corda bamba.
Exercícios relacionados
Uma partícula com massa de
oscila com movimento harmônico simples com período
e uma velocidade máxima de
. Calcule (a) a freqüência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.
Um corpo de massa
executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5 cm e período e
. (a) Qual o módulo da força máxima que age sobre o corpo? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante da mola? © Quando o deslocamento é de metade da amplitude, que fração da energia é energia potencial?
Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos,
e
, temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando
, as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga
:
A força por unidade de volume
em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar
, temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando
, e tambem
e o fato de que
pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor
fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com
:
Vamos calcular por exemplo a componente
O mesmo se aplica aos termos com
, portanto a componente
do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com
(ou seja
), e
(ou seja
. Portanto o vetor de Pointing é
, e
Assim, a componente
da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como
, temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento
e energia
totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada
, temos a fórmula de Einstein
.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,