Um corpo A, de massa 2,0 kg é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra no instante t=0, com a velocidade inicial de 20 m / s. Um segundo depois do corpo A ser lançado, um corpo B é solto de uma altura de 20 m , o corpo B também possui massa de 2,0 kg. Pede-se:
(a) Quando os dois corpos se encontram?
(b) Onde os dois corpos se encontram?
© Quais as velocidades dos corpos no ponto de encontro?
(d) Supondo que não existisse gravidade, qual o tempo de encontro?

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos dois corpos: o corpo A que é lançado pra cima com certa velocidade, e o corpo B que é solto de uma altura depois de um tempo. A gente vai usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do Movimento Uniformemente Variado (MUV), pra descobrir quando e onde esses corpos vão se encontrar, além das velocidades deles nesse ponto. Vamos precisar lembrar das fórmulas de posição e velocidade em função do tempo para movimentos com aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento de cada corpo.
Corpo A:
  • Massa: 2,0 kg (nesse caso, a massa não interfere no movimento, já que não há forças diferentes agindo inicialmente).
  • Lançamento: Verticalmente para cima no instante yA(t) = v0A cdot t - 12 g cdot t^2 , com velocidade inicial yB(t) = h - 12 g cdot (t - 1)^2 .
  • Equação da posição: Para um corpo lançado verticalmente para cima, a posição em função do tempo é dada por: Onde é a aceleração da gravidade.
Corpo B:
  • Massa: 2,0 kg.
  • Lançamento: Solto de uma altura no instante .
  • Equação da posição: Como é solto (sem velocidade inicial), a posição em função do tempo é: Lembrando que , já que começa a cair um segundo depois.

Passo 3

Vamos responder à letra (a): Quando os dois corpos se encontram?
Isso acontece quando as posições dos dois corpos são iguais, ou seja, quando 20 t - 12 cdot 9,8 cdot t^2 = 20 - 12 cdot 9,8 cdot (t - 1)^2 .
Então, temos:
Vamos resolver essa equação pra encontrar o valor de .

Passo 4

Simplificando a equação:
20 t - 4,9 t^2 = 20 - 4,9 (t^2 - 2t + 1)
Distribuindo o 20 t - 4,9 t^2 = 20 - 4,9 t^2 + 9,8 t - 4,9 :
20 t - 4,9 t^2 - 20 + 4,9 t^2 - 9,8 t + 4,9 = 0
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
10,2 t - 15,1 = 0
Simplificando:
t = 15,110,2 approx 1,48 , s
Resolvendo para :

Passo 5

Resposta da letra (a): Os dois corpos se encontram aproximadamente após o lançamento do corpo A.

Passo 6

Agora, vamos para a letra (b): Onde os dois corpos se encontram?
Para isso, substituímos o valor de yA(1,48) = 20 times 1,48 - 4,9 times (1,48)^2 approx 29,6 - 10,7 approx 18,9 , m encontrado na equação de posição de qualquer um dos corpos. Vamos usar a do corpo A:

Passo 7

Resposta da letra (b): Os dois corpos se encontram a cerca de acima do solo.

Passo 8

Para a letra ©: Quais as velocidades dos corpos no ponto de encontro?
Vamos calcular a velocidade de cada corpo no instante vA(t) = v0A - g cdot t = 20 - 9,8 times 1,48 approx 5,5 , m/s .
Velocidade do corpo A:
vB(t) = -g cdot (t - 1) = -9,8 times (1,48 - 1) approx -4,7 , m/s
Essa é a velocidade para cima.
Velocidade do corpo B:
Como o corpo B foi solto e começou a cair no , sua velocidade é:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Passo 9

Resposta da letra ©: No ponto de encontro, o corpo A está se movendo para cima com velocidade de aproximadamente , e o corpo B está se movendo para baixo com velocidade de aproximadamente .

Passo 10

Por fim, vamos para a letra (d): Supondo que não existisse gravidade, qual o tempo de encontro?
Sem gravidade, as equações de posição dos corpos seriam:
Corpo A:
yA(t) = v0A cdot t = 20 t
Corpo B:
Sem gravidade, o corpo B não acelera e sua posição permanece constante até ser lançado. Como ele é solto de yB(t) = 20 , m para t >= 1 , s no 20 t = 20 , sua posição seria:
t = 1 , s
Igualando as posições:
Resolvendo para :

Resposta

(a) Os dois corpos se encontram aproximadamente após o lançamento do corpo A.
(b) Eles se encontram a cerca de acima do solo.
© No ponto de encontro, o corpo A tem velocidade de aproximadamente para cima, e o corpo B tem velocidade de aproximadamente para baixo.
(d) Sem a influência da gravidade, o tempo de encontro seria após o lançamento do corpo A.

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