Um corpo de massa
oscila livremente, quando preso a uma mola, com frequência angular
. Posteriormente este conjunto é colocado num líquido, cujo coeficiente de resistência viscosa é
. (a) Escreva a equação diferencial do movimento harmônico amortecido, e a sua solução com as condições iniciais
e
. (b) Determine o tempo necessário
para que a amplitude do movimento diminua de um fator 1/e em relação ao valor inicial.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um problema de movimento harmônico amortecido. O exercício fala sobre um objeto de massa 1 kg preso numa mola que oscila com uma frequência angular de 2 rad/s. Depois, esse conjunto é colocado num líquido que oferece resistência viscosa com coeficiente ρ = 2√3 kg/s. A gente precisa:
- Escrever a equação diferencial que descreve esse movimento amortecido.
- Encontrar a solução dessa equação com as condições iniciais dadas: posição inicial de 0,50 m e velocidade inicial zero.
- Calcular o tempo necessário para que a amplitude diminua para 1/e do valor inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial do movimento. No movimento harmônico amortecido, a força total que age no objeto é a força da mola e a força de resistência viscosa. A segunda lei de Newton nos diz que
, onde
é a aceleração.
A força da mola é dada por Hooke:
, onde
é a constante da mola e
é o deslocamento.
A força de resistência viscosa é proporcional à velocidade:
.
Então, a equação fica:
Sabemos que a frequência angular sem amortecimento é
. Então, podemos reescrever a equação em termos de
:
onde
é a taxa de amortecimento.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais
e
.
Primeiro, calculamos
:
A gente compara
com
:
Como
, o sistema está subamortecido, e a solução geral é:
onde
.
Aplicando as condições iniciais:
- Para
:
Então,
.
- Derivando
para encontrar :
Para
:
Substituindo
e
,
:
Então, a solução fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar o tempo
para que a amplitude diminua para
da amplitude inicial.
A amplitude de um movimento harmônico amortecido é dada pela parte exponencial da solução, ou seja,
.
Queremos que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
(a) A equação diferencial do movimento harmônico amortecido é
e a solução com as condições iniciais dadas é
(b) O tempo necessário para que a amplitude diminua para
do valor inicial é aproximadamente
segundos.