Um corpo de massa m=1,0 kg oscila livremente, quando preso a uma mola, com frequência angular omega0=2,0 rad / s. Posteriormente este conjunto é colocado num líquido, cujo coeficiente de resistência viscosa é rho=2 raiz 3 kg / s. (a) Escreva a equação diferencial do movimento harmônico amortecido, e a sua solução com as condições iniciais x(0)=0,50 m e v(0)=0. (b) Determine o tempo necessário T para que a amplitude do movimento diminua de um fator 1/e em relação ao valor inicial.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de movimento harmônico amortecido. O exercício fala sobre um objeto de massa 1 kg preso numa mola que oscila com uma frequência angular de 2 rad/s. Depois, esse conjunto é colocado num líquido que oferece resistência viscosa com coeficiente ρ = 2√3 kg/s. A gente precisa:
  1. Escrever a equação diferencial que descreve esse movimento amortecido.
  2. Encontrar a solução dessa equação com as condições iniciais dadas: posição inicial de 0,50 m e velocidade inicial zero.
  3. Calcular o tempo necessário para que a amplitude diminua para 1/e do valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial do movimento. No movimento harmônico amortecido, a força total que age no objeto é a força da mola e a força de resistência viscosa. A segunda lei de Newton nos diz que m d^2xdt^2 + rho dxdt + k x = 0 , onde d^2xdt^2 + 2gamma dxdt + omega0^2 x = 0 é a aceleração.
A força da mola é dada por Hooke: , onde é a constante da mola e é o deslocamento.
A força de resistência viscosa é proporcional à velocidade: .
Então, a equação fica:
Sabemos que a frequência angular sem amortecimento é . Então, podemos reescrever a equação em termos de :
onde é a taxa de amortecimento.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais gamma = rho2m = 2raiz32 cdot 1 = raiz3 , s^-1 e gamma = raiz3 approx 1,732 , s^-1 omega0 = 2 , rad/s .
Primeiro, calculamos x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) ) :
x(0) = e^0 (A cos 0 + B sin 0) = A = 0,50 , m
A gente compara v(t) = dxdt = e^-gamma t ( -Agamma cos(omega t) - A omega sin(omega t) - B gamma sin(omega t) + B omega cos(omega t) ) com v(0) = (-Agamma cos 0 - A omega sin 0 + B omega cos 0 ) = -Agamma + B omega = 0 :
-0,50 cdot raiz3 + B cdot 1 = 0 B = 0,50 raiz3
Como x(t) = e^-raiz3 t ( 0,50 cos(t) + 0,50 raiz3 sin(t) ) , o sistema está subamortecido, e a solução geral é:
onde .
Aplicando as condições iniciais:
  1. Para :
Então, .
  1. Derivando para encontrar :
Para :
Substituindo e , :
Então, a solução fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo A0 e^-gamma T = A0e para que a amplitude diminua para e^-gamma T = 1e da amplitude inicial.
A amplitude de um movimento harmônico amortecido é dada pela parte exponencial da solução, ou seja, -gamma T = -1 T = 1gamma = 1raiz3 approx 0,577 , s .
Queremos que :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

(a) A equação diferencial do movimento harmônico amortecido é
d^2xdt^2 + 2raiz3 dxdt + 4x = 0
e a solução com as condições iniciais dadas é
x(t) = e^-raiz3 t ( 0,50 cos(t) + 0,50 raiz3 sin(t) )
(b) O tempo necessário para que a amplitude diminua para do valor inicial é aproximadamente segundos.

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