Um corpo de massa oscila livremente, quando preso a uma mola, com frequência angular . Posteriormente este conjunto é colocado num líquido, cujo coeficiente de resistência viscosa é . (a) Escreva a equação diferencial do movimento harmônico amortecido, e a sua solução com as condições iniciais e . (b) Determine o tempo necessário para que a amplitude do movimento diminua de um fator 1/e em relação ao valor inicial.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de movimento harmônico amortecido. O exercício fala sobre um objeto de massa 1 kg preso numa mola que oscila com uma frequência angular de 2 rad/s. Depois, esse conjunto é colocado num líquido que oferece resistência viscosa com coeficiente ρ = 2√3 kg/s. A gente precisa:
  1. Escrever a equação diferencial que descreve esse movimento amortecido.
  2. Encontrar a solução dessa equação com as condições iniciais dadas: posição inicial de 0,50 m e velocidade inicial zero.
  3. Calcular o tempo necessário para que a amplitude diminua para 1/e do valor inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial do movimento. No movimento harmônico amortecido, a força total que age no objeto é a força da mola e a força de resistência viscosa. A segunda lei de Newton nos diz que , onde é a aceleração.
A força da mola é dada por Hooke: , onde é a constante da mola e é o deslocamento.
A força de resistência viscosa é proporcional à velocidade: .
Então, a equação fica:
Sabemos que a frequência angular sem amortecimento é . Então, podemos reescrever a equação em termos de :
onde é a taxa de amortecimento.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .
Primeiro, calculamos :
A gente compara com :
Como , o sistema está subamortecido, e a solução geral é:
onde .
Aplicando as condições iniciais:
  1. Para :
Então, .
  1. Derivando para encontrar :
Para :
Substituindo e , :
Então, a solução fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo para que a amplitude diminua para da amplitude inicial.
A amplitude de um movimento harmônico amortecido é dada pela parte exponencial da solução, ou seja, .
Queremos que :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

(a) A equação diferencial do movimento harmônico amortecido é
e a solução com as condições iniciais dadas é
(b) O tempo necessário para que a amplitude diminua para do valor inicial é aproximadamente segundos.

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