Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine:
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um corpo de 1 kg preso a uma mola, fazendo um movimento oscilatório descrito pela equação . Nosso objetivo é encontrar a energia potencial desse corpo no instante inicial, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre energia potencial elástica e como relacionar a constante da mola com o movimento oscilatório.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição do corpo no instante inicial ( x(0) = sin(pi cdot 0 - pi2) = sin(-pi2) = -1 , metro ). Substituindo na equação da posição:
Então, no instante inicial, o corpo está a 1 metro da posição de equilíbrio, mas na direção negativa.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a constante da mola ( omega = raizkm ). Sabemos que para movimentos oscilatórios simples, a frequência angular ( k = omega^2 cdot m = pi^2 cdot 1 = pi^2 , N/m ) está relacionada à constante da mola e à massa ( ) pela fórmula:
Na equação da posição, a frequência angular é o coeficiente de dentro do seno, que é rad/s. Sabendo disso, podemos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 4

Com a constante da mola conhecida, podemos calcular a energia potencial elástica ( U = 12 k x^2 ) no instante inicial. A fórmula para a energia potencial de uma mola é:
U = 12 cdot pi^2 cdot (-1)^2 = 12 pi^2 , Jou<=s
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A energia potencial do corpo no instante inicial é Joules.

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