Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( k=0,05 N / m ). A equação diferencial do movimento é dada por
d^2 xd t^2+2 gamma d^2 xd t^2+omega0^2 x=0
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
x(t)=e^-0,1 t[10 cos (0,5 t)+2 sen(0,5 t)]
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
b) A frequência natural de oscilação.

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um corpo de 1 kg que está se movendo numa dimensão com amortecimento e sujeito a uma força elástica com constante elástica d^2 xd t^2 + 2 gamma d xd t + omega0^2 x = 0 . A equação diferencial que descreve esse movimento é:
x(t) = e^-0,1 t [10 cos(0,5 t) + 2 sin(0,5 t)]
A solução geral dessa equação é dada por:
O que precisamos determinar aqui é a frequência natural de oscilação ( ) desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a frequência natural de oscilação. Em sistemas como esse, a frequência natural ( omega0 = raizkm ) é a frequência com que o sistema oscila quando não há nenhum tipo de amortecimento ou força externa atuando. Ela depende das propriedades do sistema, especificamente da massa ( ) e da constante elástica ( ).
A fórmula para calcular a frequência natural é:
Onde:
  • é a frequência natural (em rad/s),
  • é a constante elástica (em N/m),
  • é a massa (em kg).

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores fornecidos:
  • Massa ( omega0 = raiz0,051 = raiz0,05 ) = 1 kg
  • Constante elástica ( omega0 approx raiz0,05 approx 0,2236 , rad/s ) = 0,05 N/m
Substituindo na fórmula:
Calculando:

Passo 4

No entanto, dado que a solução geral fornecida é:
x(t) = e^-0,1 t [10 cos(0,5 t) + 2 sin(0,5 t)],
vemos que a frequência angular presente nas funções trigonométricas é omega = raizomega0^2 - gamma^2 . Isso indica que estamos lidando com a frequência oscilatória amortecida ( ), que está relacionada à frequência natural e ao coeficiente de amortecimento ( ).
A relação entre a frequência natural ( ), a frequência oscilatória amortecida ( ) e o coeficiente de amortecimento ( ) é dada por:

Passo 5

Para encontrar omega0 = raizomega^2 + gamma^2 , podemos rearranjar a equação:
gamma = 0,12 = 0,05 , s^-1
Pelo enunciado, na solução geral, o termo omega0 = raiz(0,5)^2 + (0,05)^2 = raiz0,25 + 0,0025 = raiz0,2525 approx 0,5025 , rad/s indica que , portanto:
E a frequência oscilatória amortecida é .
Substituindo esses valores na fórmula para :

Resposta

A frequência natural de oscilação é aproximadamente .

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