Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica (
). A equação diferencial do movimento é dada por
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
b) A frequência natural de oscilação.
b) A frequência natural de oscilação.
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um corpo de 1 kg que está se movendo numa dimensão com amortecimento e sujeito a uma força elástica com constante elástica
. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
A solução geral dessa equação é dada por:
O que precisamos determinar aqui é a frequência natural de oscilação (
) desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a frequência natural de oscilação. Em sistemas como esse, a frequência natural (
) é a frequência com que o sistema oscila quando não há nenhum tipo de amortecimento ou força externa atuando. Ela depende das propriedades do sistema, especificamente da massa (
) e da constante elástica (
).
A fórmula para calcular a frequência natural é:
Onde:
-
é a frequência natural (em rad/s), -
é a constante elástica (em N/m), -
é a massa (em kg).
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com os valores fornecidos:
- Massa (
) = 1 kg - Constante elástica (
) = 0,05 N/m
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Passo 4
No entanto, dado que a solução geral fornecida é:
vemos que a frequência angular presente nas funções trigonométricas é
. Isso indica que estamos lidando com a frequência oscilatória amortecida (
), que está relacionada à frequência natural e ao coeficiente de amortecimento (
).
A relação entre a frequência natural (
), a frequência oscilatória amortecida (
) e o coeficiente de amortecimento (
) é dada por:
Passo 5
Para encontrar
, podemos rearranjar a equação:
Pelo enunciado, na solução geral, o termo
indica que
, portanto:
E a frequência oscilatória amortecida é
.
Substituindo esses valores na fórmula para
:
Resposta
A frequência natural de oscilação é aproximadamente
.