Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( ). A equação diferencial do movimento é dada por
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
b) A frequência natural de oscilação.

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um corpo de 1 kg que está se movendo numa dimensão com amortecimento e sujeito a uma força elástica com constante elástica . A equação diferencial que descreve esse movimento é:
A solução geral dessa equação é dada por:
O que precisamos determinar aqui é a frequência natural de oscilação ( ) desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a frequência natural de oscilação. Em sistemas como esse, a frequência natural ( ) é a frequência com que o sistema oscila quando não há nenhum tipo de amortecimento ou força externa atuando. Ela depende das propriedades do sistema, especificamente da massa ( ) e da constante elástica ( ).
A fórmula para calcular a frequência natural é:
Onde:
  • é a frequência natural (em rad/s),
  • é a constante elástica (em N/m),
  • é a massa (em kg).

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores fornecidos:
  • Massa ( ) = 1 kg
  • Constante elástica ( ) = 0,05 N/m
Substituindo na fórmula:
Calculando:

Passo 4

No entanto, dado que a solução geral fornecida é:
vemos que a frequência angular presente nas funções trigonométricas é . Isso indica que estamos lidando com a frequência oscilatória amortecida ( ), que está relacionada à frequência natural e ao coeficiente de amortecimento ( ).
A relação entre a frequência natural ( ), a frequência oscilatória amortecida ( ) e o coeficiente de amortecimento ( ) é dada por:

Passo 5

Para encontrar , podemos rearranjar a equação:
Pelo enunciado, na solução geral, o termo indica que , portanto:
E a frequência oscilatória amortecida é .
Substituindo esses valores na fórmula para :

Resposta

A frequência natural de oscilação é aproximadamente .

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