Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine:
e) Determine as constantes A e B se a equação acima estiver escrita na forma
x(t)=A cos (omega0 t)+B sen(omega0 t)

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação que descreve como um corpo de 1 kg está oscilando preso numa mola. A equação original é:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Queremos reescrever essa equação na forma:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Para isso, vamos precisar entender de identidades trigonométricas, especialmente como transformar uma seno com um deslocamento de fase em uma combinação de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na equação original. A função é um seno com um ângulo que depende do tempo:
sin(pi t - pi2)
Aqui, pi é a frequência angular omega0. Então, sabemos que omega0 = pi.

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona senos com deslocamento de fase:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
Aplicando isso na nossa equação:
sin(pi t - pi2) = sin(pi t) cos(pi2) - cos(pi t) sin(pi2)

Passo 4

Vamos calcular os valores dos cossenos e senos dos ângulos constantes:
  • cos(pi2) = 0
  • sin(pi2) = 1
Substituindo na equação:
sin(pi t - pi2) = sin(pi t) times 0 - cos(pi t) times 1
Simplificando:
sin(pi t - pi2) = -cos(pi t)

Passo 5

Agora, vamos comparar com a forma que queremos:
x(t) = A cos(pi t) + B sin(pi t)
Da equação simplificada:
x(t) = -cos(pi t)
Podemos ver que:
  • O coeficiente de cos(pi t) é -1, então A = -1
  • Não há termo de sin(pi t), então B = 0

Resposta

As constantes são A = -1 e B = 0.

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