Um corpo de massa m em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo de massa caindo livremente perto da superfície da Terra. Até agora, a gente ignorava a resistência do ar e outras forças de atrito, mas agora temos que incluir a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do corpo. Isso envolve conceitos de Leis de Newton e equações diferenciais para modelar o movimento. Vamos precisar lembrar como a força da resistência do ar funciona e como resolver a equação de movimento resultante para achar a velocidade em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas forças:
  1. Peso ( ): A força da gravidade que puxa o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Resistência do ar ( ): A força que se opõe ao movimento, proporcional à velocidade, então , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade.

Passo 3

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( m cdot dvdt = m cdot g - k cdot v ). No caso, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ).
Como as forças opõem-se, a força resultante fica:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
dvdt + km cdot v = g
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante.

Passo 5

O fator integrante ( mu(t) = e^integral km dt = e^km t ) é dado por:
e^km t cdot dvdt + e^km t cdot km cdot v = g cdot e^km t
Multiplicamos toda a equação pela ddt ( e^km t cdot v ) = g cdot e^km t :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo e^km t cdot v = integral g cdot e^km t dt + C :
m cdot gk cdot e^km t + C
A integral do lado direito é:
e^km t cdot v = m cdot gk cdot e^km t + C
Então:

Passo 7

Dividimos ambos os lados por v = m cdot gk + C cdot e^-km t para isolar :

Passo 8

Para encontrar a constante 0 = m cdot gk + C cdot e^0 , usamos a condição inicial. Supondo que no tempo 0 = m cdot gk + C , a velocidade C = -m cdot gk :

Passo 9

Substituímos v(t) = m cdot gk - m cdot gk cdot e^-km t na equação da velocidade:
v(t) = m cdot gk (1 - e^-km t)
Factorando :

Resposta

A velocidade do corpo em função do tempo é:
v(t) = m cdot gk (1 - e^-km t)

Exercícios relacionados