Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo de massa caindo livremente perto da superfície da Terra. Até agora, a gente ignorava a resistência do ar e outras forças de atrito, mas agora temos que incluir a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do corpo. Isso envolve conceitos de Leis de Newton e equações diferenciais para modelar o movimento. Vamos precisar lembrar como a força da resistência do ar funciona e como resolver a equação de movimento resultante para achar a velocidade em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas forças:
  1. Peso ( ): A força da gravidade que puxa o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Resistência do ar ( ): A força que se opõe ao movimento, proporcional à velocidade, então , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade.

Passo 3

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). No caso, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ).
Como as forças opõem-se, a força resultante fica:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante.

Passo 5

O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado direito é:
Então:

Passo 7

Dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 8

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. Supondo que no tempo , a velocidade :

Passo 9

Substituímos na equação da velocidade:
Factorando :

Resposta

A velocidade do corpo em função do tempo é:

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Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(b) Determine a velocidade em função do tempo.
C. Certo ou errado: se a afirmação for correta, explique a razão; se for falsa, dê um contra-exemplo.
2. O diamagnetismo é consequância de momentos de dipolo magnéticos induzidos.
A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
onde é a distância entre os átomos e e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .
Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.