Um corpo de massa
em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo de massa
caindo livremente perto da superfície da Terra. Até agora, a gente ignorava a resistência do ar e outras forças de atrito, mas agora temos que incluir a resistência do ar, que é proporcional à velocidade do corpo. Isso envolve conceitos de Leis de Newton e equações diferenciais para modelar o movimento. Vamos precisar lembrar como a força da resistência do ar funciona e como resolver a equação de movimento resultante para achar a velocidade em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no corpo. Temos duas forças:
- Peso (
): A força da gravidade que puxa o corpo para baixo, dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Resistência do ar (
): A força que se opõe ao movimento, proporcional à velocidade, então , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade.
Passo 3
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). No caso, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
).
Como as forças opõem-se, a força resultante fica:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante.
Passo 5
O fator integrante (
) é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado direito é:
Então:
Passo 7
Dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Supondo que no tempo
, a velocidade
:
Passo 9
Substituímos
na equação da velocidade:
Factorando
:
Resposta
A velocidade do corpo em função do tempo é:
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em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(b) Determine a velocidade em função do tempo.
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C. Certo ou errado: se a afirmação for correta, explique a razão; se for falsa, dê um contra-exemplo.
2. O diamagnetismo é consequância de momentos de dipolo magnéticos induzidos.
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onde
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e
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c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .
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(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.
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