Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma partícula com massa de 1 grama que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui envolve dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton e a resistência do ar proporcional à velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como a força resultante age na partícula quando ela está atingindo a velocidade limite.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1 grama = 0,001 kg
  • 1000 centímetros por segundo = 10 m/s
Então, a massa da partícula é 0,001 kg e a velocidade limite é 10 m/s.

Passo 3

A resistência do ar é proporcional à velocidade da partícula. Podemos expressar a força de resistência do ar como:
onde é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao movimento.

Passo 4

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração :
No caso da velocidade limite, a aceleração é zero porque a partícula está se movendo com velocidade constante. Portanto:

Passo 5

Igualando a força resultante à soma das forças atuantes, temos:
Como a partícula atinge a velocidade limite, a força aplicada é balanceada pela força de resistência do ar:
Substituindo :

Passo 6

Como a aceleração é zero na velocidade limite, a equação do movimento fica:
Mas para generalizar a equação do movimento antes de atingir a velocidade limite, consideramos a aceleração não nula:

Resposta

A equação do movimento da partícula é:

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A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
onde é a distância entre os átomos e e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .
Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.
Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em , a uma força .
(b) Como a velocidade final depende de e de ?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .
Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(a) Escreva a equação do movimento.