Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma partícula com massa de 1 grama que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui envolve dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton e a resistência do ar proporcional à velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como a força resultante age na partícula quando ela está atingindo a velocidade limite.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
- 1 grama = 0,001 kg
- 1000 centímetros por segundo = 10 m/s
Então, a massa da partícula
é 0,001 kg e a velocidade limite
é 10 m/s.
Passo 3
A resistência do ar é proporcional à velocidade da partícula. Podemos expressar a força de resistência do ar
como:
onde
é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao movimento.
Passo 4
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante
é igual ao produto da massa
pela aceleração
:
No caso da velocidade limite, a aceleração é zero porque a partícula está se movendo com velocidade constante. Portanto:
Passo 5
Igualando a força resultante à soma das forças atuantes, temos:
Como a partícula atinge a velocidade limite, a força aplicada
é balanceada pela força de resistência do ar:
Substituindo
:
Passo 6
Como a aceleração
é zero na velocidade limite, a equação do movimento fica:
Mas para generalizar a equação do movimento antes de atingir a velocidade limite, consideramos a aceleração não nula:
Resposta
A equação do movimento da partícula é:
Exercícios relacionados
A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
onde
é a distância entre os átomos
e
e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for
Um corpo de massa
em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.
(d) Inclua agora os efeitos da resistência do ar neste problema, supondo a força de atrito proporcional à velocidade. Considere que o termo de proporcionalidade é uma quantidade conhecida. Resolva a nova equação de movimento, para obter a velocidade do corpo em função do tempo.
Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em
, a uma força
.
(b) Como a velocidade final depende de e de
?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .
(b) Como a velocidade final depende de
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se
Resposta: .
Um corpo de massa
em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(a) Escreva a equação do movimento.
(a) Escreva a equação do movimento.