Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.
(a) Sendo a resistência do ar aproximada por uma força proporcional à velocidade, escreva a equação do movimento desta partícula.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma partícula com massa de 1 grama que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui envolve dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton e a resistência do ar proporcional à velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como a força resultante age na partícula quando ela está atingindo a velocidade limite.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
- 1 grama = 0,001 kg
- 1000 centímetros por segundo = 10 m/s
Então, a massa da partícula
é 0,001 kg e a velocidade limite
é 10 m/s.
Passo 3
A resistência do ar é proporcional à velocidade da partícula. Podemos expressar a força de resistência do ar
como:
onde
é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao movimento.
Passo 4
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante
é igual ao produto da massa
pela aceleração
:
No caso da velocidade limite, a aceleração é zero porque a partícula está se movendo com velocidade constante. Portanto:
Passo 5
Igualando a força resultante à soma das forças atuantes, temos:
Como a partícula atinge a velocidade limite, a força aplicada
é balanceada pela força de resistência do ar:
Substituindo
:
Passo 6
Como a aceleração
é zero na velocidade limite, a equação do movimento fica:
Mas para generalizar a equação do movimento antes de atingir a velocidade limite, consideramos a aceleração não nula:
Resposta
A equação do movimento da partícula é: