A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
V(x)=-ax^6+bx^12
onde x é a distância entre os átomos a e b e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a energia potencial entre dois átomos numa molécula diatômica, dada por:
V(x) = -ax^6 + bx^12
Aqui, x é a distância entre os átomos, e a e b são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a distância de equilíbrio e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio, sabendo que a massa do átomo mais leve é m. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância de equilíbrio. No equilíbrio, a força resultante é zero, ou seja, a derivada da energia potencial em relação a x é zero:
dVdx = 0
Vamos calcular a derivada de V(x):
dVdx = 6ax^7 - 12bx^13 = 0

Passo 3

Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para x:
6ax^7 = 12bx^13
Simplificando:
6a cdot x^13 = 12b cdot x^7
Dividindo ambos os lados por 6a cdot x^7:
x^6 = 12b6a = 2ba

Passo 4

Resolvendo para x, tiramos a raiz sexta de ambos os lados:
x = ( 2ba )^1/6
Então, essa é a distância de equilíbrio.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio. Para isso, usamos a fórmula do período para o movimento harmônico simples:
T = 2pi raizmk
Onde k é a constante da mola efetiva, que podemos encontrar a partir da segunda derivada da energia potencial em xeq.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada de V(x):
d^2Vdx^2 = -42ax^8 + 156bx^14
No ponto de equilíbrio xeq, sabemos que xeq^6 = 2ba, então podemos substituir para simplificar.

Passo 7

Substituindo xeq^6 = 2ba:
Primeiro, reescrevemos xeq^14 como (xeq^6)^2 cdot xeq^2 = ( 2ba )^2 xeq^2
Agora, substituímos na segunda derivada:
d^2Vdx^2 = -42axeq^8 + 156bxeq^14 = -42axeq^8 + 156b( 2ba )^2 xeq^2
Simplificando:
= -42axeq^8 + 156b a^24b^2 xeq^2 = -42axeq^8 + 39a^2b xeq^2

Passo 8

Agora, usando xeq^6 = 2ba, podemos expressar xeq^2 e xeq^8 em termos de b e a:
xeq^2 = ( 2ba )^1/3
xeq^8 = ( 2ba )^4/3
Substituindo de volta na segunda derivada:
d^2Vdx^2 = -42a( 2ba )^4/3 + 39a^2b ( 2ba )^1/3
Simplificando:
= -42a ( a2b )^4/3 + 39a^2 ( a2b )^1/3 1b

Passo 9

Fatorando ( a2b )^1/3:
= ( a2b )^1/3 [ -42a ( a2b )^1 + 39a^2b ]
= ( a2b )^1/3 ( -42a cdot a2b + 39a^2b )
Simplificando dentro dos colchetes:
= ( a2b )^1/3 ( -42a^22b + 39a^2b )
= ( a2b )^1/3 ( -21a^2/b + 39a^2/b )
= ( a2b )^1/3 ( 18a^2/b )

Passo 10

Portanto,
d^2Vdx^2 = 18a^2/b cdot ( a2b )^1/3
Isso é a nossa constante k.

Passo 11

Agora, substituímos k na fórmula do período:
Simplificando:
T = 2pi raizmk = 2pi raizm18a^2/b cdot ( a2b )^1/3

Passo 12

Simplificando os coeficientes:

Passo 13

Podemos combinar os termos de potência:
Simplificando:

Passo 14

Finalmente, simplificamos os coeficientes:

Resposta

A distância de equilíbrio é x = ( 2ba )^1/6 e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição é:
T = 2pi raizm18 ( 2ba )^4/3

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