A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
onde é a distância entre os átomos e e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a energia potencial entre dois átomos numa molécula diatômica, dada por:
Aqui, é a distância entre os átomos, e e são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a distância de equilíbrio e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio, sabendo que a massa do átomo mais leve é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância de equilíbrio. No equilíbrio, a força resultante é zero, ou seja, a derivada da energia potencial em relação a é zero:
Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Resolvendo para , tiramos a raiz sexta de ambos os lados:
Então, essa é a distância de equilíbrio.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio. Para isso, usamos a fórmula do período para o movimento harmônico simples:
Onde é a constante da mola efetiva, que podemos encontrar a partir da segunda derivada da energia potencial em .

Passo 6

Calculamos a segunda derivada de :
No ponto de equilíbrio , sabemos que , então podemos substituir para simplificar.

Passo 7

Substituindo :
Primeiro, reescrevemos como
Agora, substituímos na segunda derivada:
Simplificando:

Passo 8

Agora, usando , podemos expressar e em termos de e :
Substituindo de volta na segunda derivada:
Simplificando:

Passo 9

Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 10

Portanto,
Isso é a nossa constante .

Passo 11

Agora, substituímos na fórmula do período:
Simplificando:

Passo 12

Simplificando os coeficientes:

Passo 13

Podemos combinar os termos de potência:
Simplificando:

Passo 14

Finalmente, simplificamos os coeficientes:

Resposta

A distância de equilíbrio é e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição é:

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Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
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Resposta: .