A energia potencial para a força existente entre dois átomos, numa molécula diatômica, tem a seguinte forma aproximada:
onde é a distância entre os átomos e e são constantes positivas.
c) Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações, em torno da posição de equilíbrio, se a massa do átomo mais leve for .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a energia potencial entre dois átomos numa molécula diatômica, dada por:
Aqui, é a distância entre os átomos, e e são constantes positivas. Nosso objetivo é encontrar a distância de equilíbrio e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio, sabendo que a massa do átomo mais leve é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio estático e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distância de equilíbrio. No equilíbrio, a força resultante é zero, ou seja, a derivada da energia potencial em relação a é zero:
Vamos calcular a derivada de :
Passo 3
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Resolvendo para , tiramos a raiz sexta de ambos os lados:
Então, essa é a distância de equilíbrio.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o período das pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio. Para isso, usamos a fórmula do período para o movimento harmônico simples:
Onde é a constante da mola efetiva, que podemos encontrar a partir da segunda derivada da energia potencial em .
Passo 6
Calculamos a segunda derivada de :
No ponto de equilíbrio , sabemos que , então podemos substituir para simplificar.
Passo 7
Substituindo :
Primeiro, reescrevemos como
Agora, substituímos na segunda derivada:
Simplificando:
Passo 8
Agora, usando , podemos expressar e em termos de e :
Substituindo de volta na segunda derivada:
Simplificando:
Passo 9
Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 10
Portanto,
Isso é a nossa constante .
Passo 11
Agora, substituímos na fórmula do período:
Simplificando:
Passo 12
Simplificando os coeficientes:
Passo 13
Podemos combinar os termos de potência:
Simplificando:
Passo 14
Finalmente, simplificamos os coeficientes:
Resposta
A distância de equilíbrio é e o período das pequenas oscilações em torno dessa posição é: