Um corpo move-se ao longo do eixo X, segundo a lei
x=2 t^3+5 t^2+5
onde x é expressa em metros e t em segundos.
Achar:
A posição, a velocidade e a aceleração para t=2 s e t=3 s;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo que se move ao longo do eixo X com uma posição dada pela equação:
x = 2 t^3 + 5 t^2 + 5
Aqui, x é a posição em metros e t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração desse corpo nos tempos t = 2 segundos e t = 3 segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar a equação da posição:
v(t) = dxdt = ddt(2 t^3 + 5 t^2 + 5) = 6 t^2 + 10 t
Então, a função da velocidade é v(t) = 6 t^2 + 10 t.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função da aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar a função da velocidade:
a(t) = dvdt = ddt(6 t^2 + 10 t) = 12 t + 10
Então, a função da aceleração é a(t) = 12 t + 10.

Passo 4

Com as funções de posição, velocidade e aceleração encontradas, agora vamos calcular os valores para t = 2 segundos.
Primeiro, a posição:
x(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 + 5 = 2 times 8 + 5 times 4 + 5 = 16 + 20 + 5 = 41 metros
Segundo, a velocidade:
v(2) = 6(2)^2 + 10(2) = 6 times 4 + 20 = 24 + 20 = 44 m/s
Terceiro, a aceleração:
a(2) = 12(2) + 10 = 24 + 10 = 34 m/s^2

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores para t = 3 segundos.
Primeiro, a posição:
x(3) = 2(3)^3 + 5(3)^2 + 5 = 2 times 27 + 5 times 9 + 5 = 54 + 45 + 5 = 104 metros
Segundo, a velocidade:
v(3) = 6(3)^2 + 10(3) = 6 times 9 + 30 = 54 + 30 = 84 m/s
Terceiro, a aceleração:
a(3) = 12(3) + 10 = 36 + 10 = 46 m/s^2

Resposta

Para t = 2 segundos:
  • Posição: 41 metros
  • Velocidade: 44 m/s
  • Aceleração: 34 m/s²
Para t = 3 segundos:
  • Posição: 104 metros
  • Velocidade: 84 m/s
  • Aceleração: 46 m/s²

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