Um corpo oscila com um MHS ao longo do eixo dos x. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação:
x=(4,0 m) cos (pi t+pi4)
Determine a amplitude, frequência e período do movimento
Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo para t=1,0 s
Calcule o deslocamento do corpo entre t=0 e t=1,0 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo que está oscilando em um Movimento Harmônico Simples (MHS) ao longo do eixo dos x = (4,0 , m) cos(pi t + pi4) . A equação que descreve o deslocamento desse corpo em função do tempo é:
Vamos precisar entender os conceitos de amplitude, frequência e período para resolver a primeira parte. Também vamos usar as derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Amplitude, Frequência e Período
Primeiro, vamos identificar a amplitude, frequência e período da oscilação.
  • Amplitude ( A = 4,0 , m ): É o valor máximo que o deslocamento alcança. Na equação, é o coeficiente que está multiplicando o cosseno. Então,
omega = pi , rad/s
  • Frequência Angular ( f = omega2pi = pi2pi = 12 , Hz ): É o coeficiente de T = 1f = 112 = 2,0 , s dentro do cosseno. Na nossa equação,
  • Frequência ( ): Está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
  • Período ( ): É o inverso da frequência:

Passo 3

Deslocamento, Velocidade e Aceleração em x = 4,0 cos(pi times 1,0 + pi4) = 4,0 cos(5pi4)
Agora, vamos calcular o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo no instante x = 4,0 times (-raiz22) = -2raiz2 , m approx -2,83 , m .
  • Deslocamento ( v = dxdt = -4,0 pi sin(pi t + pi4) ):
Substituindo v = -4,0 pi sin(pi times 1,0 + pi4) = -4,0 pi sin(5pi4) na equação do deslocamento:
v = -4,0 pi times (-raiz22) = 2raiz2 pi , m/s approx 8,89 , m/s
Sabemos que a = d^2xdt^2 = -4,0 pi^2 cos(pi t + pi4) . Então,
a = -4,0 pi^2 cos(pi times 1,0 + pi4) = -4,0 pi^2 cos(5pi4)
  • Velocidade ( a = -4,0 pi^2 times (-raiz22) = 2raiz2 pi^2 , m/s^2 approx 27,93 , m/s^2 ):
A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Substituindo :
Sabemos que . Então,
  • Aceleração ( ):
A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada do deslocamento:
Substituindo :
Como ,

Passo 4

Deslocamento entre x(0) = 4,0 cos(pi times 0 + pi4) = 4,0 cos(pi4) = 4,0 times raiz22 = 2raiz2 , m approx 2,83 , m e x(1,0) approx -2,83 , m
Aqui, queremos encontrar a variação do deslocamento nesse intervalo de tempo.
Primeiro, calculamos o deslocamento em De:
Já sabemos que em :
A variação do deslocamento ( ) é:

Resposta

  • Amplitude:
  • Frequência:
  • Período:
  • Deslocamento em :
  • Velocidade em :
  • Aceleração em :
  • Variação do deslocamento entre e :

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