Um corpo de prova metálico cilíndrico com 10,7000 mm de diâmetro e 95,000 mm de comprimento deve ser submetido a uma força de tração de 6300 N ; nesse nível de força, a deformação resultante será totalmente elástica.
(a) Se o comprimento final deve ser menor que 95,040 mm, quais, entre os metais na Tabela 7.1, são candidatos adequados? Por quê?
(b) Se, além disso, o diâmetro não deve ser maior do que 10,698 mm enquanto a força de tração de 6300 N é aplicada, quais, entre os metais que satisfazem o critério do item (a), são candidatos adequados? Por quê?
(a) Se o comprimento final deve ser menor que 95,040 mm, quais, entre os metais na Tabela 7.1, são candidatos adequados? Por quê?
(b) Se, além disso, o diâmetro não deve ser maior do que 10,698 mm enquanto a força de tração de 6300 N é aplicada, quais, entre os metais que satisfazem o critério do item (a), são candidatos adequados? Por quê?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um exercício de resistência dos materiais onde um cilindro metálico com diâmetro de 10,7000 mm e comprimento de 95,000 mm está sendo puxado por uma força de 6300 N. A deformação que ocorre é totalmente elástica, ou seja, o material pode voltar ao seu estado original após a força ser removida. O objetivo aqui é descobrir quais metais são adequados para esse cenário, considerando algumas restrições no comprimento e no diâmetro final. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de tensão, deformação e módulo de elasticidade (módulo de Young).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a deformação ser totalmente elástica. Isso implica que a deformação (
) está dentro do limite elástico do material, onde a relação entre a tensão (
) e a deformação é linear e definida pelo módulo de Young (
). A fórmula que relaciona essas grandezas é:
onde:
-
é a força aplicada, -
é o comprimento original, -
é a área da seção transversal, -
é o módulo de Young.
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal (
) do cilindro. O diâmetro é 10,7000 mm, então o raio (
) é metade disso:
A área da seção transversal é dada por:
Passo 4
Agora, vamos determinar a deformação máxima permitida para que o comprimento final seja menor que 95,040 mm. A deformação máxima (
) é:
Passo 5
Usando a fórmula da deformação elástica, podemos encontrar o valor mínimo do módulo de Young necessário para que a deformação seja menor que 0,040 mm:
Convertendo para GPa (já que 1 GPa =
):
Passo 6
Agora, precisamos comparar esse valor com o módulo de Young dos metais na Tabela 7.1. Como não temos a tabela específica, vamos considerar alguns valores típicos de
para metais comuns:
- Aço:
- Alumínio:
- Titânio:
- Cobre:
- Níquel:
Passo 7
Observando os valores acima, percebemos que nenhum desses metais atinge o módulo de Young necessário de
. Isso sugere que há algo errado na nossa abordagem inicial. Na verdade, o valor calculado para
está muito alto, o que indica que talvez devemos revisar as unidades ou os cálculos.
Passo 8
Vamos verificar as unidades. A força
está em Newtons (N), o comprimento
em milímetros (mm), a área
em milímetros quadrados (mm²) e a deformação
em milímetros (mm). Sabendo que
, vamos refazer o cálculo:
Passo 9
Agora, com
, vamos comparar novamente com os metais listados:
- Aço:
- Alumínio:
- Titânio:
- Cobre:
- Níquel:
Passo 10
Dessa forma, os metais que têm módulo de Young maior ou igual a 166.667 GPa são:
- Aço (
) - Níquel (
)
Esses dois metais são candidatos adequados porque possuem rigidez suficiente para limitar a deformação dentro do limite especificado.
Resposta
(a) Os metais adequados são o aço e o níquel, pois possuem módulos de Young de 210 GPa e 207 GPa, respectivamente, que são maiores que o mínimo necessário de aproximadamente 166,667 GPa para limitar a deformação a menos de 0,040 mm.