Um corpo de prova metálico cilíndrico com 10,7000 mm de diâmetro e 95,000 mm de comprimento deve ser submetido a uma força de tração de 6300 N ; nesse nível de força, a deformação resultante será totalmente elástica.
(a) Se o comprimento final deve ser menor que 95,040 mm, quais, entre os metais na Tabela 7.1, são candidatos adequados? Por quê?
(b) Se, além disso, o diâmetro não deve ser maior do que 10,698 mm enquanto a força de tração de 6300 N é aplicada, quais, entre os metais que satisfazem o critério do item (a), são candidatos adequados? Por quê?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um exercício de resistência dos materiais onde um cilindro metálico com diâmetro de 10,7000 mm e comprimento de 95,000 mm está sendo puxado por uma força de 6300 N. A deformação que ocorre é totalmente elástica, ou seja, o material pode voltar ao seu estado original após a força ser removida. O objetivo aqui é descobrir quais metais são adequados para esse cenário, considerando algumas restrições no comprimento e no diâmetro final. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de tensão, deformação e módulo de elasticidade (módulo de Young).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a deformação ser totalmente elástica. Isso implica que a deformação ( De) está dentro do limite elástico do material, onde a relação entre a tensão ( sigma) e a deformação é linear e definida pelo módulo de Young ( E). A fórmula que relaciona essas grandezas é:
De
onde:
  • F é a força aplicada,
  • L é o comprimento original,
  • A é a área da seção transversal,
  • E é o módulo de Young.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal ( A) do cilindro. O diâmetro é 10,7000 mm, então o raio ( r) é metade disso:
r = 10,7000 , mm2 = 5,3500 , mm
A área da seção transversal é dada por:
A = pi r^2 = pi (5,3500 , mm)^2 approx 89,766 , mm^2

Passo 4

Agora, vamos determinar a deformação máxima permitida para que o comprimento final seja menor que 95,040 mm. A deformação máxima ( De) é:
De

Passo 5

Usando a fórmula da deformação elástica, podemos encontrar o valor mínimo do módulo de Young necessário para que a deformação seja menor que 0,040 mm:
E >= F cdot LA cdot De
Convertendo para GPa (já que 1 GPa = 10^3 , N/mm^2):
E >= 1674 , GPa

Passo 6

Agora, precisamos comparar esse valor com o módulo de Young dos metais na Tabela 7.1. Como não temos a tabela específica, vamos considerar alguns valores típicos de E para metais comuns:
  • Aço: 210 , GPa
  • Alumínio: 69 , GPa
  • Titânio: 116 , GPa
  • Cobre: 110 , GPa
  • Níquel: 207 , GPa

Passo 7

Observando os valores acima, percebemos que nenhum desses metais atinge o módulo de Young necessário de 1674 , GPa. Isso sugere que há algo errado na nossa abordagem inicial. Na verdade, o valor calculado para E está muito alto, o que indica que talvez devemos revisar as unidades ou os cálculos.

Passo 8

Vamos verificar as unidades. A força F está em Newtons (N), o comprimento L em milímetros (mm), a área A em milímetros quadrados (mm²) e a deformação De em milímetros (mm). Sabendo que 1 , GPa = 1 times 10^3 , N/mm^2, vamos refazer o cálculo:
E >= 6300 , N cdot 95,000 , mm89,766 , mm^2 cdot 0,040 , mm = 598,500,000 , N mm3,590.64 , mm^3 approx 166,667 , N/mm^2 = 166.667 , GPa

Passo 9

Agora, com E >= 166.667 , GPa, vamos comparar novamente com os metais listados:
  • Aço: 210 , GPa
  • Alumínio: 69 , GPa
  • Titânio: 116 , GPa
  • Cobre: 110 , GPa
  • Níquel: 207 , GPa

Passo 10

Dessa forma, os metais que têm módulo de Young maior ou igual a 166.667 GPa são:
  • Aço ( 210 , GPa)
  • Níquel ( 207 , GPa)
Esses dois metais são candidatos adequados porque possuem rigidez suficiente para limitar a deformação dentro do limite especificado.

Resposta

(a) Os metais adequados são o aço e o níquel, pois possuem módulos de Young de 210 GPa e 207 GPa, respectivamente, que são maiores que o mínimo necessário de aproximadamente 166,667 GPa para limitar a deformação a menos de 0,040 mm.

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