Um corpo suspenso numa mola oscila verticalmente com aceleração dada por:
, onde
é uma constante com dimensão de aceleração sobre distância, e
é a distância medida verticalmente a partir da posição de equilíbrio da mola. Suponha que a velocidade inicial do corpo era
para a posição inicial
. Obtenha uma expressão para o cálculo da velocidade
em função da coordenada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um corpo preso numa mola que oscila verticalmente. A aceleração do corpo é dada por
, onde
é uma constante e
é a posição vertical a partir do ponto de equilíbrio da mola. Além disso, sabemos que a velocidade inicial do corpo é
quando ele está na posição inicial
. Nosso objetivo aqui é descobrir uma expressão que nos diga qual é a velocidade
do corpo em função da posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Mas como queremos relacionar a velocidade com a posição, vamos usar uma relação da física que conecta aceleração, velocidade e posição sem precisar integrar em relação ao tempo.
Passo 3
A relação que vamos usar é
. Essa fórmula surge da cadeia de derivadas, onde
. Assim, podemos reescrever a equação da aceleração em termos de
e
.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão da aceleração fornecida no enunciado na nossa equação:
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar
em função de
.
Passo 5
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, temos as variáveis
de um lado e
do outro, prontas para integrar.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos agora resolver para
. Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Para encontrar a constante
, usamos as condições iniciais: quando
,
.
Substituindo:
Então, substituímos
de volta na equação:
Passo 8
Finalmente, isolamos
tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade
em função da posição
é dada por: