Um corpo suspenso numa mola oscila verticalmente com aceleração dada por: a=-k y, onde k é uma constante com dimensão de aceleração sobre distância, e y é a distância medida verticalmente a partir da posição de equilíbrio da mola. Suponha que a velocidade inicial do corpo era v0 para a posição inicial y0. Obtenha uma expressão para o cálculo da velocidade v em função da coordenada y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um corpo preso numa mola que oscila verticalmente. A aceleração do corpo é dada por , onde é uma constante e é a posição vertical a partir do ponto de equilíbrio da mola. Além disso, sabemos que a velocidade inicial do corpo é quando ele está na posição inicial . Nosso objetivo aqui é descobrir uma expressão que nos diga qual é a velocidade do corpo em função da posição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Mas como queremos relacionar a velocidade com a posição, vamos usar uma relação da física que conecta aceleração, velocidade e posição sem precisar integrar em relação ao tempo.

Passo 3

A relação que vamos usar é . Essa fórmula surge da cadeia de derivadas, onde . Assim, podemos reescrever a equação da aceleração em termos de e .

Passo 4

Agora, substituímos a expressão da aceleração fornecida no enunciado na nossa equação:
v dvdy = -k y
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar em função de .

Passo 5

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por v , dv = -k y , dy e multiplicamos por :
Agora, temos as variáveis de um lado e do outro, prontas para integrar.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral v , dv = -k integral y , dy
Calculando as integrais:
v^22 = -k y^22 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos agora resolver para v^2 = -k y^2 + 2C . Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
v0^2 = -k y0^2 + 2C Rightarrow 2C = v0^2 + k y0^2
Para encontrar a constante v^2 = -k y^2 + v0^2 + k y0^2 , usamos as condições iniciais: quando , .
Substituindo:
Então, substituímos de volta na equação:

Passo 8

Finalmente, isolamos v = raizv0^2 + k (y0^2 - y^2) tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade v = raizv0^2 + k ( y0^2 - y^2 ) em função da posição é dada por:

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