Um corpo tem temperatura dada por: T(x, y, z)=ln (9 x^2+y^2-4 z^2)
(d) (0,5 ponto) Suponha que x=x(u, v), y=y(u, v) e z=z(u, v) sejam funções diferenciáveis tais que: (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) pertence à S, para todo (u, v) e que (x(1,1), y(1,1), z(1,1))=P0=(2,6,3). Calcule partial Tpartial u(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função de temperatura . As coordenadas , e são funções diferenciáveis de duas variáveis e , ou seja, , e . Sabemos que no ponto , as coordenadas são . A pergunta é: qual é o valor da derivada parcial de em relação a no ponto , isto é, ?
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia multivariável, que nos permite calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial de partial Tpartial u = partial Tpartial x cdot partial xpartial u + partial Tpartial y cdot partial ypartial u + partial Tpartial z cdot partial zpartial u em relação a . Como depende de , e , que por sua vez dependem de e , a derivada parcial de em relação a é dada por:
Isso é a aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais de partial Tpartial x = 19x^2 + y^2 - 4z^2 cdot 18x :
partial Tpartial y = 19x^2 + y^2 - 4z^2 cdot 2y
partial Tpartial z = 19x^2 + y^2 - 4z^2 cdot (-8z)
Essas derivadas vêm da derivada da função logaritmo e da regra da cadeia aplicada aos termos dentro do logaritmo.

Passo 4

Agora, precisamos avaliar essas derivadas no ponto 9x^2 + y^2 - 4z^2 = 9(2)^2 + (6)^2 - 4(3)^2 = 36 + 36 - 36 = 36 . Primeiro, calculamos o denominador comum:
partial Tpartial xg|P0 = 18 cdot 236 = 3636 = 1
Então:
partial Tpartial yg|P0 = 2 cdot 636 = 1236 = 13
partial Tpartial zg|P0 = -8 cdot 336 = -2436 = -23

Passo 5

Agora, precisamos das derivadas de partial xpartial ug|(1,1) = a , partial ypartial ug|(1,1) = b e partial zpartial ug|(1,1) = c em relação a no ponto . Como a questão não fornece explicitamente essas funções ou suas derivadas, vamos supor que elas são conhecidas ou que temos essas informações de algum contexto adicional.
Como não temos informações específicas, para fins de exemplo, vamos supor que:
Onde , e são constantes que deveriam ser fornecidas na questão ou derivadas a partir de outras informações.

Passo 6

Substituindo todas as derivadas na expressão original da regra da cadeia:
partial Tpartial u(1,1) = (1) cdot a + (13) cdot b + (-23) cdot c
Sem os valores específicos de , e , não podemos calcular um valor numérico final. Portanto, a resposta depende das derivadas de , e em relação a no ponto dado.

Resposta

partial Tpartial u(1,1) = a + 13b - 23c

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