Um corpo tem temperatura dada por: T(x, y, z) = ln(9 x^2 + y^2 - 4 z^2)
© (1 ponto) Determine a direção (vetor unitário) correspondente a maior taxa de variação da temperatura T(x, y, z) no ponto P0 = (2, 6, 3) e dê o valor desta taxa máxima;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura de um corpo, dada pela função . A gente precisa descobrir a direção (como um vetor unitário) onde a temperatura muda mais rápido no ponto e também o quanto essa mudança é rápida. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, em relação a :
E finalmente, em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos , e nas derivadas parciais:
Então,
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Para encontrar a direção da maior taxa de variação, precisamos transformar o gradiente em um vetor unitário. Isso significa dividir o gradiente pelo seu módulo (ou norma).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Passo 6

Por fim, a maior taxa de variação da temperatura no ponto é exatamente o módulo do gradiente que já calculamos:

Resposta

A direção da maior taxa de variação da temperatura no ponto é dada pelo vetor unitário:
E a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto é:

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