Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a temperatura de um corpo, dada pela função . A gente precisa descobrir a direção (como um vetor unitário) onde a temperatura muda mais rápido no ponto e também o quanto essa mudança é rápida. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, em relação a :
E finalmente, em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, substituímos , e nas derivadas parciais:
Então,
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Para encontrar a direção da maior taxa de variação, precisamos transformar o gradiente em um vetor unitário. Isso significa dividir o gradiente pelo seu módulo (ou norma).
Primeiro, calculamos o módulo de :
Agora, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Passo 6
Por fim, a maior taxa de variação da temperatura no ponto é exatamente o módulo do gradiente que já calculamos:
Resposta
A direção da maior taxa de variação da temperatura no ponto é dada pelo vetor unitário:
E a taxa máxima de variação da temperatura nesse ponto é: