Considere tal que e . Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a matriz de uma transformação linear nas bases canônicas. Isso significa que queremos descobrir como essa transformação funciona em termos de matrizes quando usamos os padrões básicos de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar vetores de em usando as informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz vai ter 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Passo 3
Sabemos que transforma os vetores e nos vetores e , respectivamente. Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para obter equações para os elementos de :
Primeira equação:
Isso nos dá:
Segunda equação:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de e .
Começando pela primeira coluna:
Da equação (1):
Da equação (4):
Substituindo da equação (1a):
Agora, substituindo de volta na equação (1a):
Passo 6
Vamos resolver para a segunda coluna usando as equações (2) e (5).
Da equação (2):
Da equação (5):
Substituindo da equação (2a):
Agora, substituindo na equação (2a):
Passo 7
Finalmente, vamos resolver para a terceira coluna usando as equações (3) e (6).
Da equação (3):
Da equação (6):
Substituindo da equação (3a):
Agora, substituindo na equação (3a):
Resposta
A matriz da transformação associada às bases canônicas de e é: