Considere tal que e . Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a matriz de uma transformação linear nas bases canônicas. Isso significa que queremos descobrir como essa transformação funciona em termos de matrizes quando usamos os padrões básicos de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar vetores de em usando as informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz vai ter 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de :

Passo 3

Sabemos que transforma os vetores e nos vetores e , respectivamente. Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para obter equações para os elementos de :
Primeira equação:
Isso nos dá:
Segunda equação:
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de e .
Começando pela primeira coluna:
Da equação (1):
Da equação (4):
Substituindo da equação (1a):
Agora, substituindo de volta na equação (1a):

Passo 6

Vamos resolver para a segunda coluna usando as equações (2) e (5).
Da equação (2):
Da equação (5):
Substituindo da equação (2a):
Agora, substituindo na equação (2a):

Passo 7

Finalmente, vamos resolver para a terceira coluna usando as equações (3) e (6).
Da equação (3):
Da equação (6):
Substituindo da equação (3a):
Agora, substituindo na equação (3a):

Resposta

A matriz da transformação associada às bases canônicas de e é:

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