Encontre uma transformação linear cuja imagem é gerada por e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso envolve conceitos de transformação linear e espaço de imagem (também chamado de imagem ou rango da transformação).
Passo 2
Sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como mapeia de para , a matriz associada a terá 4 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de .
Passo 3
Queremos que as colunas de gerem a imagem de . Isso significa que as colunas de devem ser combinações lineares dos vetores dados e .
Passo 4
Vamos escolher de forma que as suas colunas sejam simplesmente os vetores e , e uma coluna nula para garantir que a imagem seja gerada por esses dois vetores.
Então, podemos definir:
Passo 5
Assim, a transformação linear é definida por:
onde .
Resposta
A transformação linear pode ser representada pela matriz: