Encontre uma transformação linear T: R^3 -> R^4 cuja imagem é gerada por (1, 2, 3, -1) e 1,1,-1,3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear cuja imagem seja gerada pelos vetores e . Isso envolve conceitos de transformação linear e espaço de imagem (também chamado de imagem ou rango da transformação).

Passo 2

Sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como mapeia de para , a matriz associada a terá 4 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de .

Passo 3

Queremos que as colunas de gerem a imagem de . Isso significa que as colunas de devem ser combinações lineares dos vetores dados e .

Passo 4

Vamos escolher de forma que as suas colunas sejam simplesmente os vetores e , e uma coluna nula para garantir que a imagem seja gerada por esses dois vetores.
Então, podemos definir:

Passo 5

Assim, a transformação linear é definida por:
onde .

Resposta

A transformação linear pode ser representada pela matriz:

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