Um produtor de café em pó adquiriu uma nova máquina de empacotamento automático. Ele deseja garantir que a quantidade média de café nos pacotes não seja significativamente diferente de 250 g. Sabe-se do certificado de inspeção da máquina que a variação das quantidades dispensadas tem uma distribuição normal, com desvio-padrão igual a 7 g, e a média pode ser regulada para diferentes valores. O produtor procedeu então da seguinte maneira: regulou a máquina, produziu uma amostra de 49 pacotes e realizou um teste de hipóteses para avaliar se a média verdadeira diferiria (ou não) significativamente do valor de 250 g. São dados deste teste: H0: mu=250 ; H1: mu neq 250 ; alpha=0,05 ; valor P=0,004372. Com base nesses dados, responda:
(a) Quais a decisão e a interpretação deste teste de hipóteses? Explicite o critério utilizado para a decisão do teste.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um produtor de café que quer garantir que a média de café nos pacotes seja 250 gramas. Ele usou uma máquina que tem uma variação normal com desvio-padrão de 7 gramas. Ele fez um teste de hipóteses com uma amostra de 49 pacotes para ver se a média real é diferente de 250 gramas. Precisamos decidir se a média realmente difere usando um nível de significância de 5% ( ) e um valor de 0,004372.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um teste de hipóteses. Nesse caso, temos duas hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média é igual a 250 gramas ( ).
  • Hipótese alternativa ( ): A média é diferente de 250 gramas ( ).

Passo 3

O próximo passo é entender o valor . O valor nos diz a probabilidade de observarmos os dados obtidos, ou algo mais extremo, se a hipótese nula for verdadeira. Aqui, o .

Passo 4

Agora, comparamos o valor com o nível de significância . A regra geral é:
  • Se : Rejeitamos a hipótese nula.
  • Se : Não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 5

No nosso caso, é menor que . Isso significa que a probabilidade de obtermos esses resultados se a média realmente fosse 250 gramas é muito baixa.

Resposta

Decidimos rejeitar a hipótese nula ( ) porque o valor é menor que . Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para concluir que a média verdadeira da quantidade de café nos pacotes difere significativamente de 250 gramas.

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