Corpos de prova de concreto foram obtidos a partir de duas diferentes misturas: uma comum, outra de alta resistência. A tensão máxima (em MPa) foi determinada para cada amostra, resultando nos dados da Tabela 1. Realize um teste de hipóteses para avaliar se a mistura de alta resistência realmente tem resistência média significativamente superior à comum. Utilize nível de significância de
. Considere amostras independentes.
Alta resistência
50,9
55,1
56,3
50,3
58,5
58,1
53,2
50,8
52,1
52,6
Comum
42,8
55,6
49,0
48,7
44,1
55,4
50,1
45,7
51,4
43,1
Tabela 1: Dados de tensão máxima (em MPa).
© Calcule a estatística de teste;
Alta resistência | 50,9 | 55,1 | 56,3 | 50,3 | 58,5 | 58,1 | 53,2 | 50,8 | 52,1 | 52,6 |
Comum | 42,8 | 55,6 | 49,0 | 48,7 | 44,1 | 55,4 | 50,1 | 45,7 | 51,4 | 43,1 |
© Calcule a estatística de teste;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas misturas de concreto: uma comum e outra de alta resistência. Queremos descobrir se a mistura de alta resistência realmente tem uma resistência média maior que a comum. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses. Vamos precisar calcular a estatística de teste, que nos ajuda a decidir se a diferença observada entre as médias é significativa ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
- Alta resistência: 50,9; 55,1; 56,3; 50,3; 58,5; 58,1; 53,2; 50,8; 52,1; 52,6
- Comum: 42,8; 55,6; 49,0; 48,7; 44,1; 55,4; 50,1; 45,7; 51,4; 43,1
Vamos calcular a média e o desvio padrão de cada grupo. Essas medidas são importantes porque nos dão uma ideia central dos dados e de como eles variam.
Passo 3
Vamos calcular a média da mistura de alta resistência:
Agora, a média da mistura comum:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo, que nos mostra a variação dos dados em relação à média.
Para a mistura de alta resistência:
Calculando cada diferença ao quadrado e somando:
Para a mistura comum:
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos comparando duas médias independentes, vamos usar o teste t de Student para amostras independentes. A fórmula para a estatística t é:
Onde:
-
e são as médias das amostras -
e são os desvios padrão -
e são os tamanhos das amostras
Passo 6
Substituindo os valores:
Resposta
A estatística de teste calculada é aproximadamente 2,52.