Corpos de prova de concreto foram obtidos a partir de duas diferentes misturas: uma comum, outra de alta resistência. A tensão máxima (em MPa) foi determinada para cada amostra, resultando nos dados da Tabela 1. Realize um teste de hipóteses para avaliar se a mistura de alta resistência realmente tem resistência média significativamente superior à comum. Utilize nível de significância de 5 %. Considere amostras independentes.
Alta resistência 50,9 55,1 56,3 50,3 58,5 58,1 53,2 50,8 52,1 52,6
Comum 42,8 55,6 49,0 48,7 44,1 55,4 50,1 45,7 51,4 43,1
Tabela 1: Dados de tensão máxima (em MPa).
© Calcule a estatística de teste;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas misturas de concreto: uma comum e outra de alta resistência. Queremos descobrir se a mistura de alta resistência realmente tem uma resistência média maior que a comum. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses. Vamos precisar calcular a estatística de teste, que nos ajuda a decidir se a diferença observada entre as médias é significativa ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Alta resistência: 50,9; 55,1; 56,3; 50,3; 58,5; 58,1; 53,2; 50,8; 52,1; 52,6
  • Comum: 42,8; 55,6; 49,0; 48,7; 44,1; 55,4; 50,1; 45,7; 51,4; 43,1
Vamos calcular a média e o desvio padrão de cada grupo. Essas medidas são importantes porque nos dão uma ideia central dos dados e de como eles variam.

Passo 3

Vamos calcular a média da mistura de alta resistência:
barX1 = 50,9 + 55,1 + 56,3 + 50,3 + 58,5 + 58,1 + 53,2 + 50,8 + 52,1 + 52,610 = 533,410 = 53,34 MPa
Agora, a média da mistura comum:
barX2 = 42,8 + 55,6 + 49,0 + 48,7 + 44,1 + 55,4 + 50,1 + 45,7 + 51,4 + 43,110 = 485,510 = 48,55 MPa

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo, que nos mostra a variação dos dados em relação à média.
Para a mistura de alta resistência:
s1 = raizsum (Xi - barX1)^2n1 - 1
Calculando cada diferença ao quadrado e somando:
s1 approx 3,77 MPa
Para a mistura comum:
s2 = raizsum (Xi - barX2)^2n2 - 1
Calculando:
s2 approx 4,68 MPa

Passo 5

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Como estamos comparando duas médias independentes, vamos usar o teste t de Student para amostras independentes. A fórmula para a estatística t é:
t = barX1 - barX2raizs1^2n1 + s2^2n2
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das amostras
  • s1 e s2 são os desvios padrão
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras

Passo 6

Substituindo os valores:
t = 53,34 - 48,55raiz3,77^210 + 4,68^210 = 4,79raiz14,212910 + 21,902410 = 4,79raiz1,4213 + 2,1902 = 4,79raiz3,6115 approx 4,791,9004 approx 2,52

Resposta

A estatística de teste calculada é aproximadamente 2,52.

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