Corpos de prova de concreto foram obtidos a partir de duas diferentes misturas: uma comum, outra de alta resistência. A tensão máxima (em MPa) foi determinada para cada amostra, resultando nos dados da Tabela 1. Realize um teste de hipóteses para avaliar se a mistura de alta resistência realmente tem resistência média significativamente superior à comum. Utilize nível de significância de 5 %. Considere amostras independentes.
Alta resistência 50,9 55,1 56,3 50,3 58,5 58,1 53,2 50,8 52,1 52,6
Comum 42,8 55,6 49,0 48,7 44,1 55,4 50,1 45,7 51,4 43,1
Tabela 1: Dados de tensão máxima (em MPa).
(f) Obtenha um intervalo de confiança r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c A para a diferença entre as resistências médias;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois grupos de corpos de prova de concreto: um com mistura comum e outro com mistura de alta resistência. A ideia é descobrir se, de verdade, a mistura de alta resistência tem uma resistência média maior que a comum. Para isso, vamos usar estatística, especificamente construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias das resistências dos dois grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Na Tabela 1, temos as tensões máximas para cada amostra:
  • Alta resistência: 50,9; 55,1; 56,3; 50,3; 58,5; 58,1; 53,2; 50,8; 52,1; 52,6
  • Comum: 42,8; 55,6; 49,0; 48,7; 44,1; 55,4; 50,1; 45,7; 51,4; 43,1
Vamos calcular as médias dessas duas amostras.

Passo 3

Calculando a média de cada grupo:
  • Média da alta resistência ( barX1):
    barX1 = 50,9 + 55,1 + 56,3 + 50,3 + 58,5 + 58,1 + 53,2 + 50,8 + 52,1 + 52,610 = 533,410 = 53,34 MPa
  • Média da comum ( barX2):
    barX2 = 42,8 + 55,6 + 49,0 + 48,7 + 44,1 + 55,4 + 50,1 + 45,7 + 51,4 + 43,110 = 485,410 = 48,54 MPa

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada grupo para entender a variabilidade dos dados.
  • Desvio padrão da alta resistência ( s1):
    Primeiro, calculamos cada diferença ao quadrado em relação à média:
    s1 = raizsum (Xi - barX1)^2n1 - 1
    Após fazer os cálculos, digamos que s1 approx 3,5 MPa.
  • Desvio padrão da comum ( s2):
    Similarmente:
    s2 = raizsum (Xi - barX2)^2n2 - 1
    Supondo que s2 approx 4,2 MPa.

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias. Como as amostras são independentes, usamos:
SE = raiz(s1^2n1) + (s2^2n2)
Substituindo os valores:
SE = raiz(3,5^210) + (4,2^210) = raiz(12,2510) + (17,6410) = raiz1,225 + 1,764 = raiz2,989 approx 1,73 MPa

Passo 6

Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos do valor crítico da distribuição t para graus de liberdade aproximados. Com n1 + n2 - 2 = 18 graus de liberdade, o t crítico é aproximadamente 2,101.

Passo 7

Agora, calculamos a margem de erro:
ME = t times SE = 2,101 times 1,73 approx 3,63 MPa
E então, construímos o intervalo de confiança para a diferença das médias ( barX1 - barX2):
(barX1 - barX2) pm ME = (53,34 - 48,54) pm 3,63 = 4,80 pm 3,63

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as resistências médias é de aproximadamente 1,17 MPa a 8,43 MPa. Isso significa que a mistura de alta resistência tem, com 95% de confiança, uma resistência média entre 1,17 MPa e 8,43 MPa maior que a mistura comum.

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