Uma correção para o modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é considerar que o núcleo, de massa
, e o elétron, de massa
, formam um binário ao invés de considerar que o núcleo está fixo e apenas o elétron percorre uma orbita circular. Determine os níveis de energia para esse modelo. Dados: carga elementar:
, constante de Planck:
, permissividade elétrica do vácuo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ajustar o modelo atômico de Bohr para o hidrogênio, levando em conta que tanto o núcleo quanto o elétron têm massa e formam um sistema binário. Isso envolve conceitos de física quântica e mecânica clássica, especialmente sobre energia nos níveis eletrônicos. Para resolver, vamos precisar entender como a massa dos dois componentes influencia nos níveis de energia e aplicar algumas fórmulas fundamentais da física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o modelo de Bohr original funciona. Nele, o elétron orbita o núcleo fixo em órbitas circulares com certas energias quantizadas. Mas, na verdade, tanto o núcleo quanto o elétron se movem ao redor do centro de massa do átomo. Para ajustar isso, usamos o conceito de massa reduzida.
Passo 3
A massa reduzida (
) é uma forma de levar em conta as massas de ambos os corpos que estão se movendo. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a massa do núcleo.
Como o núcleo é muito mais pesado que o elétron, essa massa reduzida será aproximadamente igual à massa do elétron, mas é importante considerar para precisão.
Passo 4
No modelo ajustado, a energia dos níveis está relacionada à massa reduzida. A energia total
em cada nível
é dada por:
Essa fórmula nos mostra que a energia depende da massa reduzida, da carga elementar
, da permissividade elétrica do vácuo
, da constante de Planck
, e do número quântico
.
Passo 5
Portanto, substituindo a massa reduzida na expressão da energia, temos:
Essa é a expressão final para os níveis de energia no modelo ajustado de Bohr considerando tanto a massa do núcleo quanto a do elétron.
Resposta
Os níveis de energia para o átomo de hidrogênio, considerando o núcleo e o elétron como um sistema binário, são dados por:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a massa do núcleo, -
é a carga elementar, -
é a permissividade elétrica do vácuo, -
é a constante de Planck, -
é o número quântico principal.
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. Quando fótons de comprimento de onda
atingem a superficie de um metal
, os fotoelétrons emitidos possuem energia cinética máxima
(
) eV e comprimento de onda de De Broglie mínimo
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b) .
a) As funções trabalho de cada metal, A e B;
b)