Uma correção para o modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio é considerar que o núcleo, de massa M, e o elétron, de massa m, formam um binário ao invés de considerar que o núcleo está fixo e apenas o elétron percorre uma orbita circular. Determine os níveis de energia para esse modelo. Dados: carga elementar: e, constante de Planck: h, permissividade elétrica do vácuo: varepsilon0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ajustar o modelo atômico de Bohr para o hidrogênio, levando em conta que tanto o núcleo quanto o elétron têm massa e formam um sistema binário. Isso envolve conceitos de física quântica e mecânica clássica, especialmente sobre energia nos níveis eletrônicos. Para resolver, vamos precisar entender como a massa dos dois componentes influencia nos níveis de energia e aplicar algumas fórmulas fundamentais da física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o modelo de Bohr original funciona. Nele, o elétron orbita o núcleo fixo em órbitas circulares com certas energias quantizadas. Mas, na verdade, tanto o núcleo quanto o elétron se movem ao redor do centro de massa do átomo. Para ajustar isso, usamos o conceito de massa reduzida.

Passo 3

A massa reduzida ( mu) é uma forma de levar em conta as massas de ambos os corpos que estão se movendo. Ela é dada pela fórmula:
mu = m Mm + M
Onde:
  • m é a massa do elétron,
  • M é a massa do núcleo.
Como o núcleo é muito mais pesado que o elétron, essa massa reduzida será aproximadamente igual à massa do elétron, mas é importante considerar para precisão.

Passo 4

No modelo ajustado, a energia dos níveis está relacionada à massa reduzida. A energia total En em cada nível n é dada por:
En = - mu e^48 varepsilon0^2 h^2 n^2
Essa fórmula nos mostra que a energia depende da massa reduzida, da carga elementar e, da permissividade elétrica do vácuo varepsilon0, da constante de Planck h, e do número quântico n.

Passo 5

Portanto, substituindo a massa reduzida na expressão da energia, temos:
En = - (m Mm + M) e^48 varepsilon0^2 h^2 n^2
Essa é a expressão final para os níveis de energia no modelo ajustado de Bohr considerando tanto a massa do núcleo quanto a do elétron.

Resposta

Os níveis de energia para o átomo de hidrogênio, considerando o núcleo e o elétron como um sistema binário, são dados por:
En = - (m Mm + M) e^48 varepsilon0^2 h^2 n^2
Onde:
  • m é a massa do elétron,
  • M é a massa do núcleo,
  • e é a carga elementar,
  • varepsilon0 é a permissividade elétrica do vácuo,
  • h é a constante de Planck,
  • n é o número quântico principal.

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