Um corredor pretende tornar mais regular o tempo gasto para percorrer uma determinada distância. Ele anotou os tempos, em minutos, de cada vez que ele percorreu essa distância (tabela abaixo).
Tempo <br> min 3 5 8 3 9 6 5 5
Percebendo a média x dos tempos observados, o corredor pretende realizar o percurso mais n vezes com o tempo exatamente igual à média, cada vez, para que o desvio padrão, de todos os tempos observados, diminua 1 unidade. Dessa forma, n deve ser igual a:
A) 16 .
B) 20 .
C) 24 .
D) 28
E) 32 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um corredor que registrou os tempos que ele levou para percorrer uma certa distância. Queremos calcular quantas vezes ele precisa correr com exatamente o tempo médio para que o desvio padrão diminua 1 unidade. Para isso, vamos usar conceitos de média, variância e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos que ele já anotou. Os tempos são: 3, 5, 8, 3, 9, 6, 5, 5 minutos.
Média , (x) = 3 + 5 + 8 + 3 + 9 + 6 + 5 + 58 = 448 = 5,5 , minutos é

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância dos tempos. A variância é a média dos quadrados das diferenças de cada tempo em relação à média.
Variância , (sigma^2) = (3-5,5)^2 + (5-5,5)^2 + (8-5,5)^2 + (3-5,5)^2 + (9-5,5)^2 + (6-5,5)^2 + (5-5,5)^2 + (5-5,5)^28 â
Calculando cada termo:
(3-5,5)^2 = 6,25 (5-5,5)^2 = 0,25 (8-5,5)^2 = 6,25 (3-5,5)^2 = 6,25 (9-5,5)^2 = 12,25 (6-5,5)^2 = 0,25 (5-5,5)^2 = 0,25 (5-5,5)^2 = 0,25
Somando tudo:
6,25 + 0,25 + 6,25 + 6,25 + 12,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 32
Então:
sigma^2 = 328 = 4 , min^2
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz4 = 2 , minutos

Passo 4

Agora, o corredor quer adicionar n corridas com exatamente o tempo médio (5,5 minutos). Quando ele fizer isso, a nova variância vai mudar. A fórmula para a nova variância é:
sigmanova^2 = sum (ti - x)^2 + n(x - x)^28 + n
Como sigmanova^2 = 8 cdot sigma^28 + n , simplificamos para:
raiz8 cdot 48 + n = 1
Queremos que o novo desvio padrão seja 328 + n = 1 . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Agora, resolvendo para n:
32 = 8 + n n = 32 - 8 n = 24

Resposta

A quantidade de corridas adicionais que o corredor deve realizar é 24.

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