Uma correia transportadora é usada para mover areia de um lugar para outro em uma fábrica. A correia está inclinada com um ângulo de 14^circ da horizontal, e a areia se move sem escorregar a uma velocidade de 7 m / s. A areia é colocada em um grande tambor 3 m abaixo da extremidade da correia. Determine a distância horizontal entre a extremidade da correia o meio do tambor de coleta.
R. 6,6 m

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema! Temos uma correia transportadora inclinada a em relação à horizontal, movendo areia a uma velocidade de 7 m/s. Quando a areia chega ao final da correia, ela cai 3 metros abaixo em direção a um tambor de coleta. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância horizontal entre o final da correia e o meio do tambor onde a areia aterrissa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente de movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, precisamos separar a velocidade da areia nas componentes horizontal ( vx = v cdot cos(theta) ) e vertical ( vy = v cdot sin(theta) ). Sabemos que a velocidade total ( vx = 7 cdot cos(14^circ) approx 7 cdot 0,9703 approx 6,792 , m/s ) é de 7 m/s e o ângulo ( vy = 7 cdot sin(14^circ) approx 7 cdot 0,2419 approx 1,693 , m/s ) é de .
As fórmulas para as componentes são:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos determinar quanto tempo ( y = vy t + 12 g t^2 ) a areia leva para cair 3 metros verticalmente até o tambor. Usamos a equação do movimento vertical com aceleração da gravidade ( -3 = 1,693 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2 ):
12 cdot 9,81 cdot t^2 - 1,693 cdot t - 3 = 0
Aqui, t = 1,693 pm raiz(1,693)^2 + 4 cdot 4,905 cdot 32 cdot 4,905 (negativo porque a areia está caindo). Substituindo os valores:
t approx 1,693 pm raiz2,866 + 58,869,81
Rearranjando a equação:
t approx 1,693 pm raiz61,7269,81
Resolvemos essa equação quadrática para t approx 1,693 pm 7,8559,81 :
t approx 1,693 + 7,8559,81 approx 9,5489,81 approx 0,974 , segundos
Desconsideramos a solução negativa porque o tempo não pode ser negativo:

Passo 4

Com o tempo que a areia leva para cair, podemos calcular a distância horizontal ( d = vx cdot t approx 6,792 , m/s cdot 0,974 , s approx 6,6 , m ) que ela percorre durante esse tempo. Usamos a fórmula:

Resposta

A distância horizontal entre a extremidade da correia e o meio do tambor de coleta é aproximadamente 6,6 metros.

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