Uma corrente de água que flui a uma vazão de 1,2 m^3 / min e se move com uma velocidade v tanto em A como em B é desviada por uma pá soldada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é 20 kg com o centro de massa no ponto G. Sabendo que theta=45^circ, determine (b) a reação em C.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de água com uma vazão de 1,2 , m^3/min que flui com uma velocidade v tanto no ponto A quanto no ponto B. Essa corrente é desviada por uma pá que está ligada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é de 20 kg, com o centro de massa no ponto G. Sabendo que o ângulo theta é de 45^circ, precisamos determinar a reação em C.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica dos fluidos, mais especificamente o princípio da quantidade de movimento aplicado a sistemas em equilíbrio. Também vamos usar noções básicas de estática para analisar as forças envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão da água para unidades mais convenientes. A vazão Q é dada por:
Q = 1,2 , m^3/min
Vamos converter isso para metros cúbicos por segundo ( m^3/s), já que as velocidades normalmente são expressas nessa unidade.
Sabemos que:
1 , min = 60 , s
Então:
Q = 1,260 , m^3/s = 0,02 , m^3/s

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a vazão com a velocidade da água. A vazão Q é também igual ao produto da área da seção transversal A pela velocidade v:
Q = A times v
No entanto, o problema menciona que a velocidade v é a mesma em A e B, então podemos considerar que a área permanece constante ou que as velocidades são iguais devido a outras condições do sistema. Para simplificar, vamos focar no fluxo de quantidade de movimento, já que estamos interessados na força resultante sobre a pá.

Passo 4

O princípio da quantidade de movimento nos diz que a taxa de variação da quantidade de movimento de um fluido é igual à força resultante atuando sobre ele. Matematicamente:
F = dotm times De
Onde:
  • F é a força resultante,
  • dotm é a taxa de vazão massiva,
  • De é a mudança na velocidade do fluido.
Primeiro, precisamos calcular a taxa de vazão massiva dotm. Para isso, usamos a densidade da água rho, que é aproximadamente 1000 , kg/m^3:
dotm = rho times Q = 1000 , kg/m^3 times 0,02 , m^3/s = 20 , kg/s

Passo 5

Agora, vamos determinar a mudança na velocidade De. Como a corrente é desviada pela pá, a direção da velocidade muda, mas a magnitude permanece a mesma. Vamos supor que a direção inicial é horizontal e a direção final está em um ângulo theta = 45^circ.
A mudança na velocidade pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical:
De
De
Mas como a velocidade antes e depois tem a mesma magnitude e considerando os ângulos, a força resultante será perpendicular à direção inicial do fluxo. Portanto, a força pode ser calculada diretamente usando:
F = dotm times v times sin(theta)

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a força F com a reação em C. A placa está em equilíbrio, então a soma das forças deve ser zero. As forças envolvidas são:
  • A força da água F atuando na direção perpendicular ao fluxo.
  • A reação RC no ponto C.
Então, temos:
RC = F
Isso porque, para manter o equilíbrio, a reação no ponto C deve equilibrar a força exercida pela água.

Passo 7

Vamos calcular a força F:
F = dotm times v times sin(theta)
Mas para isso, precisamos conhecer a velocidade v. Como não foi fornecido diretamente, podemos relacionar a vazão Q com v:
Q = A times v Rightarrow v = QA
No entanto, sem a área da seção transversal A, não podemos determinar v numericamente. Mas, podemos expressar a força em termos de v:
F = 20 , kg/s times v times sin(45^circ)
Sabendo que sin(45^circ) = raiz22:
F = 20v times raiz22 = 10v raiz2

Passo 8

Portanto, a reação em C é igual à força F calculada:
RC = 10v raiz2 , N

Resposta

A reação em C é $ R_C = 10v \sqrt{2} , \mathrm{N} $.

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