Uma corrente de água que flui a uma vazão de
e se move com uma velocidade
tanto em
como em
é desviada por uma pá soldada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é 20 kg com o centro de massa no ponto
. Sabendo que
, determine (b) a reação em
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos uma corrente de água com uma vazão de
que flui com uma velocidade
tanto no ponto
quanto no ponto
. Essa corrente é desviada por uma pá que está ligada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é de 20 kg, com o centro de massa no ponto
. Sabendo que o ângulo
é de
, precisamos determinar a reação em
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica dos fluidos, mais especificamente o princípio da quantidade de movimento aplicado a sistemas em equilíbrio. Também vamos usar noções básicas de estática para analisar as forças envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a vazão da água para unidades mais convenientes. A vazão
é dada por:
Vamos converter isso para metros cúbicos por segundo (
), já que as velocidades normalmente são expressas nessa unidade.
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a vazão com a velocidade da água. A vazão
é também igual ao produto da área da seção transversal
pela velocidade
:
No entanto, o problema menciona que a velocidade
é a mesma em
e
, então podemos considerar que a área permanece constante ou que as velocidades são iguais devido a outras condições do sistema. Para simplificar, vamos focar no fluxo de quantidade de movimento, já que estamos interessados na força resultante sobre a pá.
Passo 4
O princípio da quantidade de movimento nos diz que a taxa de variação da quantidade de movimento de um fluido é igual à força resultante atuando sobre ele. Matematicamente:
Onde:
-
é a força resultante, -
é a taxa de vazão massiva, -
é a mudança na velocidade do fluido.
Primeiro, precisamos calcular a taxa de vazão massiva
. Para isso, usamos a densidade da água
, que é aproximadamente
:
Passo 5
Agora, vamos determinar a mudança na velocidade
. Como a corrente é desviada pela pá, a direção da velocidade muda, mas a magnitude permanece a mesma. Vamos supor que a direção inicial é horizontal e a direção final está em um ângulo
.
A mudança na velocidade pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical:
Mas como a velocidade antes e depois tem a mesma magnitude e considerando os ângulos, a força resultante será perpendicular à direção inicial do fluxo. Portanto, a força pode ser calculada diretamente usando:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a força
com a reação em
. A placa está em equilíbrio, então a soma das forças deve ser zero. As forças envolvidas são:
- A força da água
atuando na direção perpendicular ao fluxo. - A reação
no ponto .
Então, temos:
Isso porque, para manter o equilíbrio, a reação no ponto
deve equilibrar a força exercida pela água.
Passo 7
Vamos calcular a força
:
Mas para isso, precisamos conhecer a velocidade
. Como não foi fornecido diretamente, podemos relacionar a vazão
com
:
No entanto, sem a área da seção transversal
, não podemos determinar
numericamente. Mas, podemos expressar a força em termos de
:
Sabendo que
:
Passo 8
Portanto, a reação em
é igual à força
calculada:
Resposta
A reação em
é $ R_C = 10v \sqrt{2} , \mathrm{N} $.