Um painel de 200 times 250 mm e massa de 20 kg é sustentado por dobradiças ao longo da aresta A B. O cabo C D E é preso ao painel no ponto C, passa por uma pequena polia em D e sustenta um cilindro de massa m. Desprezando o efeito do atrito, utilize um aplicativo computacional para calcular a massa do cilindro correspondente à condição de equilíbrio para valores de theta de 0 a 90^circ, usando incrementos de 10^circ. Adotando o menor incremento adequado, determine o valor de theta correspondente a m=10 kg.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um painel de 200 times 250 mm, que pesa 20 kg, e está sendo sustentado por dobradiças na aresta AB. Tem um cabo CDE preso no painel que passa por uma polia em D e segura um cilindro de massa m. Nosso objetivo aqui é calcular a massa m que mantém o sistema em equilíbrio para diferentes ângulos theta, variando de 0 a 90^circ, com incrementos de 10^circ. Depois, usando o menor incremento que der certo, vamos encontrar o valor de theta quando m for igual a 10 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrio de torques na física estática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é equilíbrio estático. Um objeto está em equilíbrio quando todas as forças e torques que atuam sobre ele se cancelam. No caso do nosso painel, isso significa que os torques (ou momentos) que tentam girar o painel para um lado devem ser iguais aos que tentam girá-lo para o outro lado.

Passo 3

Vamos identificar os torques atuando no painel. Temos dois principais:
  1. Torque devido ao peso do painel: O peso do painel vai tentar girá-lo para baixo. Para calcular esse torque, precisamos da força (peso) e da distância perpendicular da força até o ponto de rotação (as dobradiças).
  2. Torque devido à massa m: A massa m pendurada no cabo vai criar um torque que tenta levantar o painel. Esse torque depende do peso da massa m e da distância até o ponto onde o cabo está preso, além do ângulo theta que o cabo faz com a horizontal.

Passo 4

Vamos calcular o torque do peso do painel. A força é o peso do painel, que é P = mp times g, onde mp = 20 kg e g = 9,81 m/s^2. A distância perpendicular ao ponto de rotação é a metade da dimensão vertical do painel, então dp = 250 mm2 = 125 mm = 0,125 m.
Então, o torque do painel é:
taup = P times dp = mp times g times dp

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque devido à massa m. A força é o peso da massa, F = m times g. A distância é a mesma distância onde o cabo está preso, dm = 200 mm = 0,2 m. Porém, como o cabo está inclinado em um ângulo theta, a componente perpendicular da força é F times sin(theta).
Então, o torque devido à massa m é:
taum = m times g times dm times sin(theta)

Passo 6

Para o equilíbrio, os torques devem ser iguais:
taup = taum
Substituindo as expressões que encontramos:
mp times g times dp = m times g times dm times sin(theta)
Podemos simplificar g dos dois lados:
mp times dp = m times dm times sin(theta)
Agora, isolamos sin(theta):
sin(theta) = mp times dpm times dm

Passo 7

Vamos substituir os valores que temos:
  • mp = 20 kg
  • dp = 0,125 m
  • dm = 0,2 m
A expressão fica:
sin(theta) = 20 times 0,125m times 0,2 = 2,50,2m = 12,5m
Agora, para diferentes valores de theta, podemos calcular m. Mas o exercício também quer que a gente encontre theta para m = 10 kg. Vamos reorganizar a equação para encontrar theta:
theta = arcsin(12,510) = arcsin(1,25)
Mas aqui temos um problema: o valor dentro do arcsin não pode ser maior que 1, porque o seno de um ângulo nunca excede 1. Isso significa que, para m = 10 kg, não existe um ângulo theta real que mantenha o sistema em equilíbrio. Portanto, precisamos revisar nossos cálculos.
Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer a expressão para sin(theta):
sin(theta) = 20 times 0,12510 times 0,2 = 2,52 = 1,25
De fato, essa é uma situação impossível fisicamente, o que indica que com m = 10 kg, a força exercida é insuficiente para equilibrar o torque do painel, independentemente do ângulo theta. Portanto, não há um ângulo theta que satisfaz a condição de equilíbrio para m = 10 kg.

Resposta

Não existe um ângulo theta que permita o equilíbrio do painel com uma massa de m = 10 kg.

Exercícios relacionados