Uma corrente de água que flui a uma vazão de
e se move com uma velocidade
tanto em
como em
é desviada por uma pá soldada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é 20 kg com o centro de massa no ponto
. Sabendo que
, determine (a) a velocidade
do fluxo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente de água que tem uma certa vazão e velocidade, e essa água está desviando uma pá conectada a uma placa. A gente precisa descobrir qual é a velocidade
da água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vazão, velocidade, massa e força, além de entender como a água interage com a pá para causar esse desvio. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a vazão da água para unidades mais fáceis de trabalhar. A vazão dada é de
. Como queremos trabalhar com segundos, vamos converter minutos para segundos:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a vazão (
) com a velocidade (
). A fórmula básica que liga essas duas grandezas é:
Onde
é a área da seção transversal do fluxo. Mas, como a área não foi fornecida, parece que precisamos seguir outro caminho, focando na força exercida pela água na pá.
Passo 4
Vamos pensar na quantidade de movimento (ou momento linear) da água. A quantidade de movimento por unidade de tempo é igual à força aplicada. A fórmula para isso é:
Onde
é a taxa de fluxo de massa, que podemos calcular a partir da vazão.
Passo 5
Para achar a taxa de fluxo de massa (
), usamos:
Assumindo que a água tem densidade
, temos:
Passo 6
Agora, usando a fórmula da força:
Essa força está causando um torque na pá. O torque (
) é dado por:
Onde
é a distância do centro de massa ao ponto de aplicação da força, e
.
Passo 7
Como a massa combinada da pá e da placa é 20 kg, podemos relacionar o torque com a força necessária para manter o sistema em equilíbrio. Supondo que o sistema está em equilíbrio estático, o torque causado pela água deve igualar o torque resistivo do sistema.
Cancelando
dos dois lados e substituindo
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade
do fluxo é aproximadamente 13,87 m/s.