Uma corrente de água que flui a uma vazão de 1,2 m^3 / min e se move com uma velocidade v tanto em A como em B é desviada por uma pá soldada a uma placa articulada. A massa combinada da pá e da placa é 20 kg com o centro de massa no ponto G. Sabendo que theta=45^circ, determine (a) a velocidade v do fluxo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corrente de água que tem uma certa vazão e velocidade, e essa água está desviando uma pá conectada a uma placa. A gente precisa descobrir qual é a velocidade v da água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vazão, velocidade, massa e força, além de entender como a água interage com a pá para causar esse desvio. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a vazão da água para unidades mais fáceis de trabalhar. A vazão dada é de 1,2 m^3/min. Como queremos trabalhar com segundos, vamos converter minutos para segundos:
Vazão = 1,2 m^360 s = 0,02 m^3/s ã

Passo 3

Agora, vamos relacionar a vazão ( Q) com a velocidade ( v). A fórmula básica que liga essas duas grandezas é:
Q = A cdot v
Onde A é a área da seção transversal do fluxo. Mas, como a área não foi fornecida, parece que precisamos seguir outro caminho, focando na força exercida pela água na pá.

Passo 4

Vamos pensar na quantidade de movimento (ou momento linear) da água. A quantidade de movimento por unidade de tempo é igual à força aplicada. A fórmula para isso é:
F = dotm cdot v
Onde dotm é a taxa de fluxo de massa, que podemos calcular a partir da vazão.

Passo 5

Para achar a taxa de fluxo de massa ( dotm), usamos:
dotm = rho cdot Q
Assumindo que a água tem densidade rho = 1000 kg/m^3, temos:
dotm = 1000 kg/m^3 cdot 0,02 m^3/s = 20 kg/s

Passo 6

Agora, usando a fórmula da força:
F = dotm cdot v = 20 kg/s cdot v
Essa força está causando um torque na pá. O torque ( tau) é dado por:
tau = F cdot d cdot sin(theta)
Onde d é a distância do centro de massa ao ponto de aplicação da força, e theta = 45^circ.

Passo 7

Como a massa combinada da pá e da placa é 20 kg, podemos relacionar o torque com a força necessária para manter o sistema em equilíbrio. Supondo que o sistema está em equilíbrio estático, o torque causado pela água deve igualar o torque resistivo do sistema.
F cdot d cdot sin(45^circ) = m cdot g cdot d
Cancelando d dos dois lados e substituindo F:
20v cdot sin(45^circ) = 20 cdot 9,81

Passo 8

Resolvendo para v:
20v cdot raiz22 = 196,2
20v cdot 0,7071 = 196,2
v = 196,220 cdot 0,7071 approx 196,214,142 approx 13,87 m/s

Resposta

A velocidade v do fluxo é aproximadamente 13,87 m/s.

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