A corrente elétrica que passa através de um fio é dada por: i(t)=12+4 t-3 t^2 (i em A ; t em s).
a) Qual a carga que passa na seção do fio no intervalo de tempo t=0 a t=10 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma corrente elétrica passando por um fio, que varia com o tempo conforme a equação (em Amperes, A). A pergunta é: qual a carga total que passa por esse fio entre e segundos? Para resolver isso, vamos precisar entender que a carga elétrica ( ) pode ser encontrada integrando a corrente ( ) em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga em relação ao tempo. Ou seja, Q = integral0^10 i(t) , dt . Para encontrar a carga total que passou pelo fio no intervalo de tempo dado, precisamos integrar a corrente nesse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão da corrente na integral:
Q = integral0^10 (12 + 4t - 3t^2) , dt
Isso significa que vamos calcular a área sob a curva da corrente entre 0 e 10 segundos.

Passo 4

Vamos integrar termo por termo:
integral (12) , dt = 12t
integral (4t) , dt = 2t^2
integral (-3t^2) , dt = -t^3
Então, a integral completa fica:
Q = [12t + 2t^2 - t^3]0^10

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituindo 12(10) + 2(10)^2 - (10)^3 = 120 + 200 - 1000 = -680 e 12(0) + 2(0)^2 - (0)^3 = 0 + 0 - 0 = 0 :
Para :
Para :

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Q = (-680) - (0) = -680 , C

Resposta

A carga que passou pela seção do fio no intervalo de tempo de 0 a 10 segundos é de Coulombs.

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