O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, com J em ampères por metro quadrado e a distância radial
em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
?
Passo 1
Vamos analisar o problema juntos! Temos um fio cilíndrico com raio
onde a densidade de corrente, ou seja, a quantidade de corrente por unidade de área, depende da distância radial
e é dada por
. Nosso objetivo é calcular a corrente que passa por um anel concêntrico a esse fio, cujo raio interno é
e o raio externo é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria de áreas circulares e integrar a densidade de corrente sobre a área do anel.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa densidade de corrente
. Isso indica que a corrente varia com o quadrado da distância radial
a partir do centro do fio. Para encontrar a corrente total passando pelo anel, precisamos calcular a integral da densidade de corrente sobre a área desse anel.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
- Raio interno do anel:
- Raio externo do anel:
- Área diferencial em coordenadas polares:
A corrente total
que passa pelo anel é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A corrente que passa pelo anel concêntrico é aproximadamente $ \mathrm{I} \approx 2,78 \times 10^{6} , A $.