O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=4,0 mm é dado por J=(3.10^6 r^2), com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,8 R e cujo raio externo é R ?

Passo 1

Vamos analisar o problema juntos! Temos um fio cilíndrico com raio R = 4,0 , mm onde a densidade de corrente, ou seja, a quantidade de corrente por unidade de área, depende da distância radial r e é dada por J = 3 times 10^6 , r^2 , A/m^2. Nosso objetivo é calcular a corrente que passa por um anel concêntrico a esse fio, cujo raio interno é 0,8, R e o raio externo é R. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria de áreas circulares e integrar a densidade de corrente sobre a área do anel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa densidade de corrente J(r) = 3 times 10^6 , r^2. Isso indica que a corrente varia com o quadrado da distância radial r a partir do centro do fio. Para encontrar a corrente total passando pelo anel, precisamos calcular a integral da densidade de corrente sobre a área desse anel.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • Raio interno do anel: r1 = 0,8, R
  • Raio externo do anel: r2 = R
  • Área diferencial em coordenadas polares: dA = 2pi r , dr
A corrente total I que passa pelo anel é dada por:
I = integralr1^r2 J(r) , dA = integral0,8, R^R 3 times 10^6 , r^2 times 2pi r , dr
Simplificando a expressão dentro da integral:
I = 6pi times 10^6 integral0,8, R^R r^3 , dr
Agora, vamos resolver a integral:
integral r^3 , dr = r^44
Aplicando os limites de integração:
I = 6pi times 10^6 ( R^44 - (0,8, R)^44 ) = 6pi times 10^64 R^4 (1 - 0,8^4)
Calculando 0,8^4:
0,8^4 = 0,4096
Substituindo de volta:
I = 6pi times 10^64 R^4 (1 - 0,4096) = 6pi times 10^64 R^4 times 0,5904
Simplificando:
I = 1,5pi times 10^6 times 0,5904 times R^4

Resposta

A corrente que passa pelo anel concêntrico é aproximadamente $ \mathrm{I} \approx 2,78 \times 10^{6} , A $.

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