Uma corrente pequena, porém mensurável, de 1.2 times 10^-18 A atravessa um fio de cobre de 25 mm de diâmetro. O número de portadores de carga por unidade de volume é 88,49 times 10^28 m^-3. Supondo que a corrente é uniforme, calcule (a) a densidade de corrente e (b) a velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um fio de cobre com diâmetro de 25 mm por onde passa uma corrente bem pequena, de 1.2 times 10^-18 A. Além disso, sabemos que o número de portadores de carga por unidade de volume é 88.49 times 10^28 , m^-3. Nosso objetivo é calcular:
a) A densidade de corrente.
b) A velocidade de deriva dos elétrons.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é densidade de corrente e velocidade de deriva, além de usar algumas fórmulas básicas de eletricidade.

Passo 2

Vamos começar calculando a densidade de corrente.
A densidade de corrente ( J) é a quantidade de corrente que passa por uma área unitária perpendicular à direção do fluxo. Basicamente, ela nos diz quanta corrente está passando por cada metro quadrado da área do fio.
A fórmula para a densidade de corrente é:
J = IA
onde:
  • J é a densidade de corrente,
  • I é a corrente elétrica,
  • A é a área da seção transversal do fio.
Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal do fio. O fio é circular, então usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
O diâmetro do fio é 25 mm, então o raio ( r) é metade disso:
r = 25 , mm2 = 12.5 , mm = 0.0125 , m
Agora, calculamos a área:
A = pi (0.0125 , m)^2 approx 3.1416 times (0.00015625 , m^2) approx 0.0004909 , m^2
Agora que temos a área, podemos calcular a densidade de corrente:
J = 1.2 times 10^-18 , A0.0004909 , m^2 approx 2.444 times 10^-15 , A/m^2

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade de deriva dos elétrons.
A velocidade de deriva ( vd) é a velocidade média com que os elétrons se movem através do condutor quando uma corrente elétrica passa por ele. Apesar de os elétrons se movimentarem rapidamente, a velocidade de deriva é bastante pequena devido à grande quantidade de elétrons e às colisões no material.
A fórmula para a velocidade de deriva é:
vd = Jn cdot e
onde:
  • vd é a velocidade de deriva,
  • J é a densidade de corrente,
  • n é o número de portadores de carga por unidade de volume,
  • e é a carga elementar ( 1.6 times 10^-19 , C).
Já calculamos J = 2.444 times 10^-15 , A/m^2 e temos n = 88.49 times 10^28 , m^-3.
Agora substituímos esses valores na fórmula:
vd = 2.444 times 10^-15 , A/m^288.49 times 10^28 , m^-3 times 1.6 times 10^-19 , C
Primeiro, calculamos o denominador:
88.49 times 10^28 times 1.6 times 10^-19 = 141.584 times 10^9 , C/m^3
Agora, dividimos J pelo denominador:
vd = 2.444 times 10^-15141.584 times 10^9 approx 1.725 times 10^-26 , m/s

Resposta

a) A densidade de corrente é aproximadamente 2.444 times 10^-15 , A/m^2.
b) A velocidade de deriva dos elétrons é aproximadamente 1.725 times 10^-26 , m/s.

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