Uma corrente i(t)=(5 A / s^2) t^2 percorre um solenóide extenso que possui 120 espiras por cm e raio R=5 cm. Uma espira circular de raio r=2 cm está no interior do solenóide e seu eixo coincide com o eixo do solenóide. (a) Ache a fem induzida na espira no tempo t=10 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corrente que varia no tempo passando por um solenóide com 120 espiras por cm e raio de 5 cm. Dentro desse solenóide, tem uma espira circular menor com raio de 2 cm, alinhada com o solenóide. A missão aqui é achar a fem (força eletromotriz) induzida nessa espira quando o tempo t é igual a 10 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético em solenóides e a Lei de Faraday da indução eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético dentro de um solenóide é dado por:
B = mu0 n i(t)
Aqui, é a permeabilidade do vácuo ( ), é o número de espiras por metro, e é a corrente que varia no tempo.

Passo 3

O enunciado diz que a corrente varia com o tempo segundo a fórmula:
i(t) = (5 , As^2) t^2
Vamos precisar dessa expressão para calcular o campo magnético no instante t = 10 s.

Passo 4

Primeiro, vamos converter o número de espiras por centímetro para por metro, porque as unidades padrão do SI usam metros.Como temos 120 espiras por cm:
n = 120 , espiras/cm = 120 times 100 = 12,000 , espiras/m

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético no solenóide no tempo t = 10 s usando a expressão do campo magnético:
B = mu0 n i(t) = (4pi times 10^-7 , T·m/A) times 12,000 , espiras/m times (5 , As^2) (10 , s)^2

Passo 6

Simplificando os cálculos:
i(10) = 5 times 10^2 = 500 , A
Então,
B = 4pi times 10^-7 times 12,000 times 500 = 4pi times 10^-7 times 6,000,000 = 4pi times 6 times 10^-1 = 7.54 times 10^-1 , T

Passo 7

Agora, vamos calcular a fem induzida na espira usando a Lei de Faraday:
E = -dPhidt
Onde Phi = B times A é o fluxo magnético, dado por:
A = pi r^2 = pi (0.02)^2 = 1.2566 times 10^-3 , m^2
E E = - ddt(B times A) = - A dBdt é a área da espira, com raio de 2 cm ( dBdt = mu0 n didt ):
didt = ddt(5 t^2) = 10 t
Então,
didt = 10 times 10 = 100 , A/s
Sabemos que:
dBdt = 4pi times 10^-7 times 12,000 times 100 = 4pi times 10^-7 times 1,200,000 = 1.507 times 10^-1 , T/s
E:
E = -1.2566 times 10^-3 times 1.507 times 10^-1 = -1.895 times 10^-4 , V approx -0.19 , mV
Então, em t = 10 s:
Agora,
Finalmente, a fem induzida:

Resposta

A fem induzida na espira no tempo é aproximadamente .

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