É correto afirmar que qualquer solução do tipo
é solução da equação de onda unidimensional?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. A questão pergunta se é correto afirmar que qualquer solução da forma
resolve a equação de onda unidimensional. Para responder isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda unidimensional e como verificar se uma função dada é solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de onda unidimensional. Ela é dada por:
Essa equação descreve como ondas se propagam em uma dimensão espacial com velocidade
.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma função
, onde
e
são funções que descrevem formas de onda que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação de onda.
Passo 4
Para verificar isso, precisamos calcular as segundas derivadas de
em relação ao tempo
e ao espaço
, e ver se elas se relacionam conforme a equação de onda.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação ao tempo:
Então, a segunda derivada em relação ao tempo é:
Passo 5
Agora, calculamos a primeira derivada de
em relação ao espaço:
E a segunda derivada em relação ao espaço é:
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Observamos que ambos os lados da equação são iguais, o que confirma que
satisfaz a equação de onda unidimensional.
Resposta
Sim, qualquer função da forma
é solução da equação de onda unidimensional.
Exercícios relacionados
Ao resolver o caso da corda fixa, é possível determinar que a frequência de um modo de vibração é dada por
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Simplifique a expressão
valores)
Ondas mecânicas que se propagam através do ar devem ser transversais ou longitudinais? Explique sua resposta.