É correto afirmar que qualquer solução do tipo é solução da equação de onda unidimensional?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. A questão pergunta se é correto afirmar que qualquer solução da forma resolve a equação de onda unidimensional. Para responder isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda unidimensional e como verificar se uma função dada é solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de onda unidimensional. Ela é dada por:
Essa equação descreve como ondas se propagam em uma dimensão espacial com velocidade .

Passo 3

Agora, vamos considerar uma função , onde e são funções que descrevem formas de onda que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente. Nosso objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação de onda.

Passo 4

Para verificar isso, precisamos calcular as segundas derivadas de em relação ao tempo e ao espaço , e ver se elas se relacionam conforme a equação de onda.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação ao tempo:
Então, a segunda derivada em relação ao tempo é:

Passo 5

Agora, calculamos a primeira derivada de em relação ao espaço:
E a segunda derivada em relação ao espaço é:

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 7

Observamos que ambos os lados da equação são iguais, o que confirma que satisfaz a equação de onda unidimensional.

Resposta

Sim, qualquer função da forma é solução da equação de onda unidimensional.

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