Os cossenos diretores de um vetor podem ser de 45^circ, 60^circ e 90^circ ? Justifique. Resp: Não, pois cos ^2 45^circ+cos ^2 60^circ+ cos ^2 90^circ neq 1

Passo 1

Vamos analisar se os ângulos 45^circ, 60^circ e 90^circ podem ser os cossenos diretores de um vetor. Para isso, vamos precisar entender o que são cossenos diretores e como eles se relacionam em um vetor.

Passo 2

Os cossenos diretores de um vetor são os cossenos dos ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados (x, y e z). Eles são representados por cos alpha, cos beta e cos gamma, onde alpha, beta e gamma são os ângulos com os eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Uma propriedade importante dos cossenos diretores é que a soma dos quadrados deles deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é representado por:
cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1

Passo 4

Agora, vamos verificar se os ângulos dados ( 45^circ, 60^circ e 90^circ) satisfazem essa condição. Calculamos os quadrados dos cossenos desses ângulos:
cos^2 45^circ = (raiz22)^2 = 24 = 12
cos^2 60^circ = (12)^2 = 14
cos^2 90^circ = (0)^2 = 0

Passo 5

Somando esses valores:
12 + 14 + 0 = 34

Passo 6

Comparando com a condição necessária:
34 neq 1
Portanto, a soma dos quadrados dos cossenos não é igual a 1.

Resposta

Não, pois cos^245^circ + cos^260^circ + cos^290^circ neq 1.

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