Um cotovelo de 90^circ é usado para direcionar o escoamento ascendente da água a uma taxa de 25 kg / s em um tubo horizontal. O diâmetro do cotovelo é de 10 cm. O cotovelo descarrega água para a atmosfera. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada do cotovelo é de 35 cm. O peso do cotovelo e da água que há nele são desprezíveis. A partir destes dados, determine:
a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a pressão manométrica na entrada do cotovelo e a força de ancoragem para manter o cotovelo no lugar. O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especialmente conceitos de pressão, força e fluxo de fluidos. Para isso, vamos precisar das fórmulas de pressão, continuidade e força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é pressão manométrica. Ela é a diferença entre a pressão no ponto considerado e a pressão atmosférica. Nossa missão é encontrar essa pressão na entrada do cotovelo.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade da água no tubo. Sabemos que a taxa de fluxo (massa por tempo) é de 25 , kg/s e o diâmetro do cotovelo é 10 , cm, então o raio r é 5 , cm ou 0,05 , m. A área da seção transversal A do tubo é dada por:
A = pi r^2 = pi (0,05)^2 = pi times 0,0025 approx 0,00785 , m^2

Passo 4

Agora, usando a relação entre a taxa de fluxo de massa dotm, área A, e velocidade v:
dotm = rho A v
Onde rho é a densidade da água, aproximadamente 1000 , kg/m^3. Vamos isolar a velocidade v:
v = dotmrho A = 251000 times 0,00785 approx 257,85 approx 3,18 , m/s

Passo 5

Com a velocidade encontrada, podemos calcular a pressão dinâmica usando a fórmula de Bernoulli simplificada para fluxo horizontal:
P + 12 rho v^2 + rho g h = constante
Como o cotovelo está horizontal e a diferença de elevação entre entrada e saída é 35 , cm ( 0,35 , m), temos:
Pentrada + 12 rho v^2 = Patmosfera + rho g h
Como a saída está na atmosfera, Psaida = Patmosfera.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para encontrar a pressão na entrada:
Pentrada = Patmosfera + rho g h - 12 rho v^2
A pressão manométrica é a diferença Pentrada - Patmosfera, então:
Pmanométrica = rho g h - 12 rho v^2 é

Passo 7

Agora, substituímos os valores:
Pmanométrica = 1000 times 9,81 times 0,35 - 12 times 1000 times (3,18)^2 é
Calculando cada parte:
1000 times 9,81 times 0,35 = 3433,5 , Pa
12 times 1000 times 10,1124 approx 5056,2 , Pa

Passo 8

Subtraindo:
Pmanométrica = 3433,5 - 5056,2 = -1622,7 , Pa é
O sinal negativo indica que, na verdade, a pressão manométrica é menor na entrada devido ao aumento da velocidade e à diferença de altura.

Passo 9

Agora, vamos calcular a força de ancoragem necessária. Essa força vai compensar a mudança de quantidade de movimento da água no cotovelo. Usamos a fórmula:
F = dotm times De
Onde De é a variação da velocidade. Como a água está mudando de direção, a variação de momento é perpendicular ao fluxo inicial.

Passo 10

No caso de uma mudança de F, a força de ancoragem F = dotm times v é dada por:
F = 25 times 3,18 = 79,5 , N
Substituindo os valores:

Resposta

A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar é de aproximadamente 80 , N.

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