Um cotovelo de é usado para direcionar o escoamento ascendente da água a uma taxa de em um tubo horizontal. O diâmetro do cotovelo é de . O cotovelo descarrega água para a atmosfera. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada do cotovelo é de . O peso do cotovelo e da água que há nele são desprezíveis. A partir destes dados, determine:
a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a pressão manométrica na entrada do cotovelo e a força de ancoragem para manter o cotovelo no lugar. O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especialmente conceitos de pressão, força e fluxo de fluidos. Para isso, vamos precisar das fórmulas de pressão, continuidade e força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é pressão manométrica. Ela é a diferença entre a pressão no ponto considerado e a pressão atmosférica. Nossa missão é encontrar essa pressão na entrada do cotovelo.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade da água no tubo. Sabemos que a taxa de fluxo (massa por tempo) é de e o diâmetro do cotovelo é , então o raio é ou . A área da seção transversal do tubo é dada por:

Passo 4

Agora, usando a relação entre a taxa de fluxo de massa , área , e velocidade :
Onde é a densidade da água, aproximadamente . Vamos isolar a velocidade :

Passo 5

Com a velocidade encontrada, podemos calcular a pressão dinâmica usando a fórmula de Bernoulli simplificada para fluxo horizontal:
Como o cotovelo está horizontal e a diferença de elevação entre entrada e saída é ( ), temos:
Como a saída está na atmosfera, .

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para encontrar a pressão na entrada:
A pressão manométrica é a diferença , então:
é

Passo 7

Agora, substituímos os valores:
é
Calculando cada parte:

Passo 8

Subtraindo:
é
O sinal negativo indica que, na verdade, a pressão manométrica é menor na entrada devido ao aumento da velocidade e à diferença de altura.

Passo 9

Agora, vamos calcular a força de ancoragem necessária. Essa força vai compensar a mudança de quantidade de movimento da água no cotovelo. Usamos a fórmula:
Onde é a variação da velocidade. Como a água está mudando de direção, a variação de momento é perpendicular ao fluxo inicial.

Passo 10

No caso de uma mudança de , a força de ancoragem é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar é de aproximadamente .

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