Um cotovelo de
é usado para direcionar o escoamento ascendente da água a uma taxa de
em um tubo horizontal. O diâmetro do cotovelo é de
. O cotovelo descarrega água para a atmosfera. A diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada do cotovelo é de
. O peso do cotovelo e da água que há nele são desprezíveis. A partir destes dados, determine:
a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.
a) A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
b) A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a pressão manométrica na entrada do cotovelo e a força de ancoragem para manter o cotovelo no lugar. O conteúdo que vamos usar aqui é da Mecânica dos Fluidos, especialmente conceitos de pressão, força e fluxo de fluidos. Para isso, vamos precisar das fórmulas de pressão, continuidade e força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é pressão manométrica. Ela é a diferença entre a pressão no ponto considerado e a pressão atmosférica. Nossa missão é encontrar essa pressão na entrada do cotovelo.
Passo 3
Vamos começar calculando a velocidade da água no tubo. Sabemos que a taxa de fluxo (massa por tempo) é de
e o diâmetro do cotovelo é
, então o raio
é
ou
. A área da seção transversal
do tubo é dada por:
Passo 4
Agora, usando a relação entre a taxa de fluxo de massa
, área
, e velocidade
:
Onde
é a densidade da água, aproximadamente
. Vamos isolar a velocidade
:
Passo 5
Com a velocidade encontrada, podemos calcular a pressão dinâmica usando a fórmula de Bernoulli simplificada para fluxo horizontal:
Como o cotovelo está horizontal e a diferença de elevação entre entrada e saída é
(
), temos:
Como a saída está na atmosfera,
.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para encontrar a pressão na entrada:
A pressão manométrica é a diferença
, então:
Passo 7
Agora, substituímos os valores:
Calculando cada parte:
Passo 8
Subtraindo:
O sinal negativo indica que, na verdade, a pressão manométrica é menor na entrada devido ao aumento da velocidade e à diferença de altura.
Passo 9
Agora, vamos calcular a força de ancoragem necessária. Essa força vai compensar a mudança de quantidade de movimento da água no cotovelo. Usamos a fórmula:
Onde
é a variação da velocidade. Como a água está mudando de direção, a variação de momento é perpendicular ao fluxo inicial.
Passo 10
No caso de uma mudança de
, a força de ancoragem
é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar é de aproximadamente
.
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