Um cotovelo redutor é usado para defletir de
o escoamento de água a uma taxa de 14
em um tubo horizontal ao mesmo tempo que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A área da seção transversal do cotovelo é de
na entrada e
na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída e entrada é de 30 cm . O peso do cotovelo e da água nela contida são desprezíveis. Determine: A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem um cotovelo redutor que desvia o fluxo de água em 30 graus e ao mesmo tempo acelera a água. A taxa de fluxo é de 14 kg/s, a área da seção transversal na entrada é 113 cm² e na saída é 7 cm². Além disso, há uma diferença de elevação de 30 cm entre a entrada e a saída. Queremos descobrir qual é a pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo.
Aqui, vamos usar conceitos de hidrodinâmica, principalmente a equação de Bernoulli e a segunda equação de Newton para levar em conta a aceleração do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as áreas da seção transversal e como elas estão relacionadas com as velocidades do fluxo. A área da seção transversal na entrada
é 113 cm² e na saída
é 7 cm². Como a vazão
é constante, podemos relacionar as velocidades
e
nas duas seções pela equação da continuidade:
Onde
é a densidade da água. Podemos isolar
:
Convertendo as áreas para metros quadrados:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto de entrada e o ponto de saída do cotovelo. A equação de Bernoulli para dois pontos em um fluxo incompressível e sem perdas é:
Onde:
-
e são as pressões nos pontos 1 e 2, -
e são as velocidades nos pontos 1 e 2, -
e são as alturas nos pontos 1 e 2, -
é a aceleração da gravidade.
Como o cotovelo está descarregando na atmosfera, a pressão
é a pressão atmosférica e, para pressões manométricas, consideramos
. A diferença de altura
.
Passo 4
Substituindo na equação de Bernoulli e rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
. Usando a equação da continuidade:
Assumindo que a densidade da água
:
Ops! Percebi que errei na conversão da área. 113 cm² = 0,0113 m² está correto, mas a massa específica de água é 1000 kg/m³ e a vazão é 14 kg/s, então:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na expressão para
:
Resposta
A pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo é aproximadamente 196.290 Pa.