O perfil de velocidade de um escoamento laminar no interior de um tubo é dado por:
vz=v máx [1-(rR)^2] á
Determine: A tensão de cisalhamento para o fluido na parede do tubo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício sobre escoamento laminar dentro de um tubo. O perfil de velocidade é dado por:
vz=vmáx[1-(rR)^2] á
O que a gente precisa descobrir é a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, principalmente sobre a relação entre a velocidade do fluido e a tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a tensão de cisalhamento. Ela representa a força por unidade de área que o fluido exerce nas paredes do tubo devido ao seu movimento. Em escoamentos laminares, essa tensão é proporcional ao gradiente de velocidade.
Matematicamente, a tensão de cisalhamento ( tau) pode ser calculada usando a viscosidade dinâmica ( mu) e o gradiente de velocidade na direção radial ( dvzdr):
tau = mu dvzdr
Então, nosso objetivo agora é encontrar dvzdr a partir do perfil de velocidade dado.

Passo 3

Vamos derivar a função velocidade em relação a r. A função é:
vz=vmáx[1-(rR)^2] á
Derivando em relação a r:
dvzdr = vmáx cdot [0 - 2(rR)cdot1R] = -2vmáx rR^2 áá

Passo 4

Queremos a tensão de cisalhamento na parede do tubo, ou seja, quando r = R. Substituindo r = R na derivada:
dvzdrg|r=R = -2vmáx RR^2 = -2vmáxR áá
O sinal negativo indica a direção da força, mas como estamos interessados apenas no valor da tensão, podemos desconsiderar o sinal.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu dvzdr
Substituindo a derivada que achamos:
tau = mu (-2vmáxR) = 2mu vmáxR áá

Resposta

A tensão de cisalhamento na parede do tubo é dada por:
tau = 2mu vmáxR á

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