O perfil de velocidade de um escoamento laminar no interior de um tubo é dado por:
Determine: A tensão de cisalhamento para o fluido na parede do tubo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício sobre escoamento laminar dentro de um tubo. O perfil de velocidade é dado por:
O que a gente precisa descobrir é a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, principalmente sobre a relação entre a velocidade do fluido e a tensão de cisalhamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a tensão de cisalhamento. Ela representa a força por unidade de área que o fluido exerce nas paredes do tubo devido ao seu movimento. Em escoamentos laminares, essa tensão é proporcional ao gradiente de velocidade.
Matematicamente, a tensão de cisalhamento () pode ser calculada usando a viscosidade dinâmica () e o gradiente de velocidade na direção radial ():
Então, nosso objetivo agora é encontrar a partir do perfil de velocidade dado.
Passo 3
Vamos derivar a função velocidade em relação a . A função é:
Derivando em relação a :
Passo 4
Queremos a tensão de cisalhamento na parede do tubo, ou seja, quando . Substituindo na derivada:
O sinal negativo indica a direção da força, mas como estamos interessados apenas no valor da tensão, podemos desconsiderar o sinal.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu dvzdr
Substituindo a derivada que achamos:
tau = mu (-2vmáxR) = 2mu vmáxR áá
Resposta
A tensão de cisalhamento na parede do tubo é dada por: